WPCO 2  B ZFZLaurentius_PostScript_(HP_LJ_III.PS)LAURENTI.PRSXh4 PEhhhhw7P3|| USES .,,. 3'3'Standard6&6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSXh4 П    dd`` <K     X` hp x (#%'0*,.8135@8:dd+oodCCddddCo"m^2NoddCCCdr2C28ddddddddddCCrrrdNdzzozzzC8CrdCddYdYCdo88d8odddNN8oYdYNF,FrC2CC!CCCCCCCCCCd8dddddYYYYYN8N8N8N8oddddoooozYddddzYdddYYYYdYYYYddddddooN8N8N8N8ddz8z8z8z8z8ooooddNNNoNoNoNoNz8z8z8oooooozYzNzNzNdz8oNoNz8zYzYddoKF2ddNdddddd5<dd8dddCCddooCd20(m+)--"9 ^CPbxxȻPPPx<dd$YYdCCddooCYqnnn!8nBBnnnyyPn7c1RyyXyycnnnndccccccccMMMMMMMMMMMMы~nyRzcXcyhFBnnshcnntnvyX~Xsyn~XyBBnss~y~~~~~~~~~~~~~~~~~~~XXXXXXXyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyBBBBBBBBBBBBnnnnnnnssssssssssssFFn29m1`2m5T7"^(5APP|555PZ(5(,PPPPPPPPPP,,ZZZGtkktbYtt5>tbttYtkYbttttb5,5KP5GPGPG5PP,,P,|PPPP5>,PPtPPGM MW5(555555555555P,tGtGtGtGtGkkGbGbGbGbG5,5,5,5,tPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtGtPtPtPtPtGtGtGkGkGkGkGtPbGbGbGbGtPtPtPtPtPtPtPtP5,5,5,5,>tPb,b,b,b,b,tPtPtPtPtPtPtk5k5k5Y>Y>Y>Y>b,b,b,tPtPtPtPtPtPttPbGbGbGtPb,tPk5Y>b,tPtPtPtPtP"m^5C5jj:>5e}5C5Rjjjjjjjjjj>:}}}[}[`ʨnxӆ:sM}x:eeRjRM`j:5j:n`j`HMMnje`j:}:}55jRHVjH5`HCRje:eeeee}RRRRR[:[:[:[:n````nnnn`ejj``eee}R}R}R}RjRRRR``````jj[:[:[:[:`j::::Hnnnn``ņHHHnMnMnMnMxMxMxMnnnnnnӣ`jjjj:nHnMxM``j`nK5xeC`R[jjj>>jj&VRx:>ns}}+C}}(C}OO}푑`}Bw;c푑iwѧcwiw}TOn}viiiOOiiiiiiiOOOOOOOOOOOOTT"^(1<j hA"9 ^,5APP|555PX(X(,PPPPPPPPPP,,XXXGtkktbYtt5>tbttYtkYbttttb5,5KP5GPGPG5PP,,P,|PPPP5>,PPtPPGM MWKJ(HP5GPPPPP,2P~~PGGP55PPYY5GxxxxiZXXXr,X55XXXr{rrr``@X,rO(Bn``{rrrrF{{{``iOXXXrrrnnnXPOOOOOOOO============oejX`BbOhFhOz`wS85tXnX\vSgOxX{X]X_`FeFn\z`rXn{neF`55X\\nen`reeeeeeeeeeeeeeeeeeeFFFFFFF````````````````````555555555555XXXXXXX\\\\\\\\\\\\nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnohz8xn{8nX"m^(5YPP555P[(5(,PPPPPPPPPP55[[[Ptkttkb||>P|kt|b|tYkttttk5,5]P5PYGYG5PY,5Y,YPYYG>5YPtPPG?#?S5(555555555555Y,tPtPtPtPtPttGkGkGkGkG>,>,>,>,tY|P|P|P|PtYtYtYtYtPtPtY|P|PtPtPtPtPtGtGtGtGtYkGkGkGkG|P|P|P|P|P|P|Y|Y>,>,>,>,P|Yk,k,k,k,k,tYtYtYtY|P|PttGtGtGY>Y>Y>Y>k5k5k5tYtYtYtYtYtYttPkGkGkGtYk,tYtGY>k5tPtPtY|PtYK8(VP5PPPPPP05PxxP,PPP55PPYY5P"m^,8,XX04,Th,8,DXXXXXXXXXX40hhhL|xh|t|LPtxlxx\dpp|0`@hd0TTDXD@PX0,X0|\PXP<@@\XTPX0h0h,,XD 9tE4-t\  PCqP DS?뮝\  PCP a7oC2o\  PCXP  ?DS?뮝\  PCP DS?N4  p(ACb7tC2Nt4  p(ACX @DS?N4  p(AC]9yE4N-y4  p(ACqL^-i=3 8 i2PkC&P_+n=3?I n2p}wC&<c5nC2_Kn*f9 xCXXd6pC2r( p9 xICXeAP<Ӯ\  PCPD1mC8K:m2PAXPDf:PCԬ2PAPgNwP5pw*6j Hxg#CXAP<NG4  p(ACt,Y5(Y\  PCPt,]5(N]4  p(ACW!C(3AC\  PChPDy'W5,+kW2PAPAcC,_c*6j Hxg#CXX2LNo ۞3ESES ,.,. 6&6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSXh46&finitif@p@@FF MMx6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSXh4   #q| P7qP# dddd      K< 3{## {##0*x4UUUUUUUUUUUUU Vss  Y(Y( ' '))''kY(kY(ksks737B(B(373=Њ ``dd #L p?7w#     y!i 0*xddBORDE-8.WPG8!&y gx"Lorenzo Pe9a  ^D  x Nuevos avances en la articulaci;n xy en las aplicaciones  ^z x de l;gicas al)ticas  x"publicado en  ^ x Lenguajes naturales y lenguajes formales VII ă  xcomp. por Carlos Mart1n Vide x!Barcelona: PPU x(Promociones y Publicaciones Universitarias) bx&1992 $x!pgs 209220. xISBN 8476659881 =n/n/n/    3o ۞ESES ,.,. 6&6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSXh46&finitif@p@@FF MMx6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSXh4   #q| P7qP# dddd      K< 3{## {## 6&finitif@p@@FF MMx6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSXh46&Standard - Dup Long6&Standard - Dup LongPRSXh4 $d[ yO  Nuevos avances en la articulaci;n y en las aplicaciones de l;gicas al)ticas`\"#Fă   yxdddy$=    e   Nuevos avances en la articulaci;n y en las aplicaciones  e' [ de l;gicas al)ticas ă  Z3  #Lorenzo Pe9a ă Instituto de Filosof1a del CSIC #&txP78&P#  U 1   1 !"r o dd p N '  New Advances in the Implementation  L ' and Applications of Truth Logics ă Von Wright's Truth Logics are are shown to enjoy strong philosophical motivations and to possess attractive modeltheoretic qualities. Some objetions levelled at them are unwarranted. Nonetheless, von Wright's claim that one of his truth logics is a paraconsistent one is found fault with, since, unlike paraconsistent systems, all those truth logics enforce Cornubia's rule (namely: p, ~p  q). Alternative truth logics are briefly sketched.' ' $##KK!K $#Xw P7 XP# !K  !K  !K  !K  !K  !K  !K  !K  !K  !K   tM KK##&Sumario 1." El enfoque de los estados en [TCC] 2." Concepto fuerte y concepto d)bil del operador de verdad 3." El desarrollo ulterior de LT 4." Es LT una l;gica paraconsistente?  tM 5." Discusi;n de algunas cr1ticas dirigidas el tratamiento de von Wright   X_  v Llmanse l;gicas al)ticas (en ingl)s Truth Logics ) a aquellos sistemas l;gicos que contienen un operador especial, `T', dotado de ciertas caracter1sticas que lo aproximen a la teorematicidad del esquema T de Tarski. En t)rminos de l;gica algebraica, ser [lo correspondiente a] un operador topol;gico aditivo. Una interesante familia de l;gicas al)ticas han sido propuestas e investigadas por Georg Henrik von Wright, en una serie de trabajos: Time, Change and Contradiction  [1969, abr. aqu1  XK como [TCC] ]; Truth and Logic  [1984, abr. como [TrL] ] "incluidos ambos en sus  Philo X5 sophical Papers , resp. vols. II & III"; Truth, Negation and contradiction ,  Synthese  vol. 66  X [1986]; y Truth Logics ,  Logique et Analyse  1987, pp. 311ss. El t1tulo de este Cltimo lo abreviar) como [ThLs] . El presente ensayo est dedicado a estudiar las l;gicas propuestas en esos trabajos. X   bh!        ك  o" 1."  El enfoque de los estados en [TCC]   X}$ La idea central de [TCC] es la de asociar un estado a un lapso de tiempo. En vez de tomarse en consideraci;n como tiempos meros instantes, se toman intervalos o lapsos. Podemos a efectos prcticos tomar un estado y llamar con la expresi;n que usemos para denominarlo a la parte del tiempo en que el mismo tenga lugar. As1, si primero sucede que p y luego que nop, diremos que el lapso total considerado se divide en dos partes, la primera p y la segunda nop. La asociaci;n va ms lejos, puesto que von Wright supone que s;lo puede haber diferencia entre dos lapsos, tN y t, si hay estados r y s tales que en tN tenga lugar r y en t s, mas no viceversa. Eso equivale a suponer que ser1an id)nticos cualesquiera lapsos indistinguibles por su contenido.0*=p-p-p-K !0 Para que un lapso de tiempo sea infinitamente divisible, es, pues, menester que haya una infinidad de estados de cosas. Supongamos ahora que primero sucede que p y luego que nop. El cambio de p a nop puede ser abrupto o bien continuo. Si es abrupto, no hay problema: podemos imaginar un cuerpo en tal estado durante todo el lapso tN y que, perdiendo sCbitamente esa cualidad, pasa de pronto al estado opuesto durante todo el lapso t, a pesar de que )ste Cltimo es inmediatamente posterior a tN. Que eso se d) o no es otra cuesti;n. Pero "a9ade von Wright" hay cambios de los que pensamos que no son as1, sino que son continuos; cambios en los cuales hay alguna transici;n de lo uno a lo otro. En tales cambios no podemos tener que el estado p se d) durante todo el lapso tN y nop durante todo el lapso t, sino que ha de haber un trnsito de lo primero a lo segundo. Y, en qu) puede consistir ese trnsito? SegCn von Wright no en que haya un lapso temporal durante todo el cual tengan lugar tanto p cuanto nop, ya que ello constituir1a una presencia completa del estado p y a la vez una ausencia completa de ese mismo estado; pueda darse o no, una combinaci;n tal de total presencia y total ausencia de un estado no podr1a constituir un paso de la presencia a la ausencia ni viceversa. No!: lo que constituye el trnsito ser un lapso tal que ni sea verdad que durante [todo] ese lapso sucede que p ni tampoco sea verdad que durante [todo] )l sucede que nop. Eso puede darse si un lapso es tal que, por ms que se lo subdivida en partes, siempre una de las mismas ser tal que durante parte de ella sea cierto que p pero tambi)n durante otra parte sea falso que p. Von Wright nos dice al respecto (p. 131):  tM I have not wanted to assert that there are contradictions in nature, nor to deny that time is continuous. But I have tried to show that there is a relation between contradiction and the continuity of time. The observation is simply this: If a change is continuous, it will pass through a phase when the world is in  tM both of two contradictorily related states.! Escrito en un momento en que las l;gicas paraconsistentes apenas hab1an empezado a existir, ese trabajo de von Wright nos impresiona por su enorme lucidez, por el destello de clarividencia con el cual el gran l;gico escandinavo se anticipa a planteamientos actuales del problema. Sin embargo, lo ms interesante para nuestro presente prop;sito es examinar el operador que, para un tratamiento formal de su enfoque, propone nuestro autor en ese lugar. Von Wright lo escribe como `N' (que quiere recordar la noci;n de necesidad y as1 traer a colaci;n similitudes con el operador modal fuerte). Mas voy a permitirme transcribirlo como `T', puesto que me parece que ello ser ilustrativo para lo que expondr) ms abajo. Para ese operador propone von Wright cuatro axiomas: B1. T(p&q).Tp&Tq{{&B2. T(pVq).TpVTq B3. T(pV~p) B4. ~T(p&~p) Es fcil percatarse de que todos esos principios se deducen del esquema T de Tarski, si bien es cierto que la conyunci;n de esos cuatro axiomas es, as1 y todo, ms d)bil que el citado esquema. Podr1amos ver en una l;gica con ese operador un tratamiento formal de la noci;n de verdad que no llegara tan lejos como la noci;n presuntamente intuitiva capturada por el esquema de Tarski, pero que se aproximara a ella razonablemente. Pues bien, la propuesta de von Wright al final de su trabajo "cuando sugiere aceptar en cierto sentido contradicciones verdaderas" es, no la de suponer que haya lapsos a los que no se aplique el axioma B4 (principio al)tico de nocontradicci;n), sino que los haya a los que se aplique la negaci;n de la instancia correspondiente?*p-++PP de B3. Eso resulta sin duda sorprendente, ya que entonces una situaci;n de algCn modo contradictoria vendr caracterizada no por la verdad de una contradicci;n sino por la falsedad  X de la instancia correspondiente del tercio excluso. Si leemos `T' como ` siempre ' "que es una lectura pr;xima a la que en el citado trabajo brinda nuestro fil;sofo", esos lapsos sern aquellos  X en los que sea verdad que a veces p y a veces nop . Pero el propio von Wright impl1citamente  X propone otra lectura de `T' (en la pg 129 del loc.cit.), como verdad total o presencia completa del estado en cuesti;n. La idea ser1a entonces que hay situaciones en las cuales falla B3 porque  X_ en las mismas no es completamente verdad que ponop , toda vez que, en virtud de B2, si esto fuera verdad, entonces o bien ser1a completamente verdad que p o bien ser1a completamente verdad que nop. (Donde yo pongo `completamente' "tomndolo del propio texto de von Wright: `the complete presence' vs `the complete absence of this state', expresadas respectivamente por Tp  y por T~p ", cabe poner `siempre', que es una lectura preferida por von Wright en ese lugar.) No me parece que, a pesar de sus inexagerables m)ritos, ese planteamiento resulte adecuado para comprender el cambio, por lo menos si persistimos en leer el operador considerado segCn lo hace el propio von Wright, con una lectura temporal. Porque, si durante tN es verdad que p y durante t que nop, sin que tN est) separado de t por ningCn lapso intermedio, como vamos a entender la existencia de un lapso en el que no sea verdad pynop, pero s1 sea verdad que a veces p y a veces nop? Sin duda podemos pensar en un lapso t que se superponga en parte con tN y en parte con t y tal que en t se d) el trnsito del estado p al estado nop. Lo que viene a proponernos ese tratamiento de von Wright es, no que sea verdad que en t sucede p y tambi)n sucede nop, sino que en t es verdad que a veces p y a veces nop; o, dicho de otro modo, que en t ni es afirmable que [siempre] p ni lo es que [siempre] nop. El lapso t ser tal que, por ms que lo dividamos, encontraremos partes suyas en las que p, partes en las que nop, y partes en las que ni p ni nop, e.d. partes en las que durante una parte p y durante otra parte nop. Pero c;mo es que puede ser as1? Parece obvio que, para cualquier lapso t que sea una de estas Cltimas partes, tendr que haber un sublapso primero en el que sea, por lo menos, ms verdad que p, otro segundo en el que sea ms verdad que nop. Lo de que siempre quede un residuo, por minCsculo que sea, en el que no sean discernibles los estados sucesivos p y nop s;lo se entender1a si es que hubiera una mezcla irresoluble de los mismos, p.ej. en casos de oscilaci;n. Pero evidentemente la intenci;n de von Wright no es la de referirse a oscilaciones, pues eso quitar1a generalidad a su soluci;n.  X# En cambio, si leemos el operador como uno de verdad completa (lectura de paso sugerida "ya lo hemos visto" por von Wright), entonces s1 est claro por qu) habr en cada trnsito continuo un trecho temporal en el que falle B3. En ese trecho ser parcialmente verdad pynop. Lo que pasa es que para esta lectura ser1a probablemente mejor reforzar B2, reemplazando en )l el functor condicional por un bicondicional. No s;lo es implicada la disyunci;n entre la completa verdad de p y la de q por la completa verdad de la disyunci;n entre p y q, sino tambi)n viceversa. En la medida en que sea totalmente cierto que p, ser (a mayor abundamiento, cabe decir) totalmente verdad que poq. Si el vaso est del todo lleno, entonces es totalmente verdad que est llenoovac1o (salvo que se rechace el principio de adici;n, cual lo proponen algunos). Lo que en cualquier caso resulta palmario es que, dentro de este enfoque, hay, o puede haber, entre lo [completamente o siempre] verdadero y lo [completamente o siempre] falso una  X'  zona intermedia. Si se identifica lo verdadero a secas con lo completamente o siempre verdadero, entonces esa zona ser una en la que no se dar ni verdad ni falsedad. Dicho de otro modo: si los Cnicos valores veritativos son la verdad a secas, entendida como lo totalmenten)p-++PP verdadero, y la falsedad a secas, entendida como lo totalmente falso, entonces este tratamiento contempla la existencia de truthvalue gaps  o huecos verivalentes. X   bH        ك  o 2."  Concepto fuerte y concepto d)bil del operador de verdad  En [TrL] ofrece von Wright un tratamiento formal del operador al)tico que aspira a poder dar cuenta satisfactoriamente de problemas como los de la verdad parcial, la vaguedad o gradualidad de ciertas propiedades y el cambio. Por esta Cltima aplicaci;n se echa de ver la similitud (parcial) con la problemtica del escrito anterior. Pero la conexi;n va mucho ms lejos, toda vez que los axiomas que propone ahora von Wright guardan estrecho parecido con los que hemos visto ms arriba. Helos aqu1: A1. T~p~Tp A2. TpT~~p A3. T(p&q).Tp&Tq A4. T~(p&q).T~pVT~q A5. T~Tp~Tp  XB El propio von Wright propone como versi;n alternativa de A4 )sta:  T(pVq).TpVTq . Trtase, pues, de la versi;n reforzada del axioma B2 de 1. Pero en el nuevo enfoque ya no figuran los viejos axiomas B3 y B4 de 1, sino que vienen reemplazados por el siguiente esquema  X axiomtico: cada esquema oracional que sea teoremtico en LC (la l;gica clsica ) ser tal que, sustituyendo uniformemente en )l cada letra esquemtica por una Tf;rmula, el resultado ser teoremtico en LT (la l;gica al)tica) "donde una Tf;rmula es una f;rmula en la que no hay ninguna oraci;n que no est) en el alcance de al menos una ocurrencia del operador `T'. LT a9ade a ese esquema axiomtico todas las instancias de A1, A2, A3, A4 y A5 y dos reglas de inferencia,  X a saber: (MP):  p ,  pq    q ; la regla de G?del, (RG):  p    Tp . Sin embargo estas dos reglas vienen propuestas tan s;lo para deducir teoremas a partir de teoremas. Lo ms de se9alarse es que este sistema no reconoce como verdades l;gicas aquellas que sean teoremas de LC y en las cuales algCn enunciado no est) bajo el alcance de ninguna ocurrencia del operador de verdad. Esa va a ser una constante de las reelaboraciones ulteriores que nos ha ofrecido ms recientemente von Wright.  X Salta a la vista que este tratamiento no incorpora el esquema T de Tarski, ya que  Tpp   X no es teoremtico en LT. Ni siquiera es teoremtico  Tpp . Entre los esquemas que no son  X! teoremticos en LT estn )stos:  T(pV~p) ,  TpVT~p . Von Wright dice al respecto (p. 33) que en ese marco aparecen como equivalentes el principio de tercio excluso y la llamada ley de bivalencia "lo que no quita para introducir un distingo terminol;gico, si uno lo desea, diciendo  X$ que el tercio excluso es el esquema  TpV~Tp , que s1 es teoremtico. Ahora bien, si en el trabajo anteriormente considerado von Wright parece no admitir entre lo verdadero y lo falso ms que una zona que carecer1a tanto de verdad cuanto de falsedad (al haber identificado impl1citamente la verdad con completa verdad), ahora contempla un operador dual del reci)n presentado `T'; aunque )l no ofrece ninguna escritura especial, yo lo transcribir)  X) como `L'. Def1nese  Lp  como  ~T~p . Vale en LT el esquema  TpLp : lo que es verdadero no es falso.*p-++PPԌ X Qu) se hace el PNC ( principio de nocontradicci;n ) en el nuevo sistema? SegCn lo dice von Wright (p. 36),  tM Tlogic does not establish that contradictions, unrestrictedly, are false (...). They are false only when the propositions contradicting each other are themselves either true or false. TpVT~pT~(p&~p) is a theorem. But a contradiction which is not false is not true either. If a contradiction is not false, then the contradicting  tM propositions are themselves neither true nor false.! Von Wright vuelve ahora a tomar el problema del cambio "segCn lo hab1a abordado en [TCC]", junto con otras aplicaciones filos;ficas ya aludidas. El contexto de su discusi;n al respecto (p. 37) revela que para )l, si a una situaci;n, p, le es aplicable el operador T (o, si se prefiere, si es tal que a una oraci;n que la represente le ser aplicable con verdad ese operador), ser porque  X) no resulte posible decir si p se da o no se da, o tambi)n porque lo que se est) dando sea un  X estado de cosas en el que ni sea un1vocamente tal que p ni sea un1vocamente tal que nop. Las aclaraciones ulteriores precisan que esa zona de transici;n o franja intermedia es aquella en la que no se aplica con total o absoluta verdad ni un predicado ni su complemento. Lo que pasa es que hay en todo eso dos nociones de suyo diferentes pero que von Wright asocia hasta quiz identificarlas (no s) si dndose cuenta o sin drsela): una puramente epist)mica (falta de claridad, incertidumbre), otra ;ntica (un hallarse el estado de cosas en cuesti;n realmente entre el seras1 y el noseras1). Volviendo al operador definido `L', von Wright nos dice que el mismo encierra otra noci;n de verdad, una d)bil, mientras que `T' capturar1a una noci;n fuerte de verdad. Creo que todo esto muestra bien a las claras que lo que von Wright entiende por `Es verdad que', segCn estar1a  X representada esta locuci;n por su operador `T', expresa verdad completa, total, en el mximo  X grado posible . En cambio, `L' expresar1a verdad [al menos] parcial, al menos hasta cierto  Xt punto, en uno u otro grado . Tomando el vocablo `verdadero' o `cierto' en el sentido d)bil o atenuado capturado por `L', von Wright est ahora dispuesto a admitir que hay contradicciones  XF verdaderas, e.d. que hay oraciones  p  tales que  L(p&~p)  es afirmable con verdad. Pero lo que en cualquier caso no contempla von Wright es una noci;n de verdad que est) entre la d)bil y la fuerte. L)ase, ya sea `T', ya sea `L', como `Es verdad que': en cualquiera  Xw de los dos casos, resultar inafirmable un enunciado,  p , tal que  Lp  sea afirmable mas no lo  X` sea  Tp . Esta l;gica no prev), por decirlo as1, ningCn punto de interpolaci;n: entroniza el  XI esquema  TpLp , pero no  Tpp  ni  pLp , ni, menos todav1a, la regla Lp  p (ni siquiera la regla p Lp). Ahora bien, tomemos en serio la noci;n blanda o suave de verdad, la que vendr1a incorporada por el operador `L'. Suponemos una situaci;n, p, tal que es [en ese sentido] verdad que p y tambi)n lo es que nop. Puede ser cualquiera de las situaciones contempladas por von Wright en el trabajo que estoy estudiando: la que consiste en que un cuerpo tenga tal cualidad cuando  X;% lo que s1 ser totalmente verdad es que una parte de )l s1 la tiene (mas no todas sus partes);  X$& o una situaci;n en que se est cambiando de un estado a su ausencia o viceversa; o un estado  X ' cualquiera de gradualidad. En el supuesto, ser verdad que p; y, sin embargo,  p  no ser afirmable a tenor del enfoque l;gico que estamos considerando. Habr algo verdadero y tal, no obstante, que no se haga una afirmaci;n verdadera al decirse ese algo, sino s;lo cuando se diga que eso es verdad. O sea, la noci;n blanda o suave de verdad ser sin embargo lo suficientemente dura)p-++PP como para no permitir sacar de la premisa Es verdad que p  la conclusi;n p  a secas (ni siquiera, dentro de este marco, cabr la inferencia inversa). X   bH        ك  o 3."  El desarrollo ulterior de LT  El trabajo ms culminante en la serie de escritos consagrados por von Wright al operador de verdad es [ThLs]. Parte von Wright de un nCcleo de sistema que ser1a el resultado de: 1)  X/ amputarle el clculo examinado en 2 los axiomas A1 y A5; 2) modificar RG as1:  p    X  Tp&~T~p . De ese modo, el sistema resultante es tal que lo mismo puede tomarse el operador de verdad en el sentido duro o fuerte que en el sentido d)bil o blando. Llamemos al sistema as1 obtenido: LTN. Luego vienen a9adidos esos dos axiomas con lo cual se forma LT. LT es el mismo sistema que el examinado en el  precedente (carece de importancia en LT la formulaci;n diversa de RG). Pone de relieve von Wright que, mientras en el sistema nuclear o bsico, LTN, son perfectamente reemplazables, sin que se note, `T' por `L' y viceversa, eso ya no es cierto en LT. No hay "nos dice ahora" inconveniente alguno en emplear el adjetivo `verdadero' sea para expresar `T' sea para expresar `L', diciendo, en este Cltimo caso, que en las zonas de transici;n, en las franjas intermedias, se estn dando contradicciones verdaderas: lo que pasa es que el reemplazo de un modo de hablar por el otro conlleva una alteraci;n  X2 conceptual (conceptual shift). La diferencia entre LT y LT estriba en que en LT es axiomtica, en vez de A1, la implicaci;n inversa de A1 (o "equivalentemente" la ley de bivalencia, a saber:  X  TpVT~p ). No hay que perder de vista que, en el fondo, lo que en LT se escribe `T' escr1bese en LT como `L' y a la inversa. Con tal, pues, de que la traducci;n de un sistema al otro sea cuidadosa, sortendose el peligro de una pseudotraducci;n literal, no pasa nada: ambos sistemas coinciden en realidad. Tomemos ahora el resultado de amputarle a LT el esquema A1, o equivalentemente quitarle  X a LT el esquema converso de A1. El resultado ser el sistema LT4. En LT4 es teoremtico el  X esquema  TTpTp . Pero no es teoremtico el esquema  TpLp .  X] Alternativamente, a9adamos a LTN la versi;n bicondicional de A1, e.d.  T~p~Tp , o  XL su equivalente  LpTp : el sistema resultante, LT5 es, en cierto sentido, [como] LC, pero no del todo: de hecho siguen sin ser teoremticos en el sistema resultante todos los enunciados que contengan alguna oraci;n que no est) en el alcance de ningCn `T'. As1 y todo, von Wright llama  X  a ese sistema CL . Examina von Wright a continuaci;n otro sistema, LTM, que resulta de a9adir a LTN el  XU esquema axiomtico A6:  Tpp . En LTM se prueban A1 y A5 sin necesidad de postularlos como axiomas. El sistema dual ser LT'M (una extensi;n de LT), que, en vez de A6, incorporar  X-" como axiomtico A7:  Lpp . De nuevo tenemos que percatarnos de que en realidad ambos sistemas son equivalentes, s;lo que no intertraducibles literalmente. Lo interasante estriba empero  X$ en a9adir a LTN otro axioma diferente tanto de A6 cuanto de A7, a saber A8:  Tp&~T~pp . A8 es menos fuerte que A6 y tambi)n menos fuerte que A7. Sin embargo s1 es lo bastante fuerte el sistema resultante, LT"M, como para que en )l sea demostrable A5. LT"M es una extensi;n  X& de LT4. Por Cltimo, si, en vez de A6 y A7, a9adimos como esquema axiomtico A9 (a saber:  X'  p.Tp&~T~p ), lo que obtenemos ser CLM, que es una extensi;n de CL. En CLM se demuestra  X( entonces  Tpp . Von Wright considera que CLM es una particular l;gica de la verdad, un clculo en el cual el operador `T' se hace redundante. CLM resulta alternativamente de a9adir a LTM  Xv* como axiomtico el esquema  TpVT~p  (teoremtico en LT). Igualmente resulta CLM de a9adirv*p-++PP  X a LT'M el esquema axiomtico  ~(Tp&T~p)  "teoremtico en LT. El primero de esos esquemas es la versi;n fuerte del principio de tercio excluso. El segundo es la versi;n fuerte del principio de no contradicci;n. Propone von Wright un modelo tetravalente, que es la siguiente matriz (aunque la actual presentaci;n es diferente):  h ddx !ddxy~. FF' h  a p ~p Tp`A(& 4 3 2 1"aq  y" 4K 1K 4`A(4K 4K 3K 2K 1"q  q  " 3 3 4`A(3 3 3 1 1"q  q  K" 2- 2- 1`A(2- 2- 1- 2- 1"q  q  " 1 4 1`A(1 1 1 1 1q  -  El valor 2 aqu1 significa ni verdadero ni falso; el 3: verdadero y falso; el 4 es la verdad  X un1voca, mientras que el 1 es la falsedad un1voca. El Cnico valor designado es el 4. Def1nense  X las otras conectivas de la manera habitual ( pq , p.ej., abrevia a  ~(p&~q) ). Las tautolog1as clsicas (salvo aquellas en las que cada letra esquemtica est bajo el alcance de una ocurrencia  X de `T') no son, pues, tautol;gicas con arreglo a este modelo. As1  pV~p  no es f;rmula vlida en este modelo. CLM partir1a del supuesto de que no existen los valores 3 y 2. O sea, omitiendo esos dos valores, tendremos un modelo para CLM. Si en cambio omitimos Cnicamente el valor 3, el resultado ser un modelo de LTM. Si omitimos s;lo el 2, tendremos un modelo de LT'M. En lo tocante a los sistemas no mixtos, LTN, LT, LT, y CL, obtenemos este resultado: puesto que en ellos no hay f;rmulas mixtas que sean teoremticas, s;lo nos interesan f;rmulas tales que todas las subf;rmulas [hasta donde sea pertinente el anlisis] empiecen por una ocurrencia de `T'; cada una de ellas tendr un valor o bien de 1 o bien de 4. LT excluir casos en que,  X para cierto  p , se tenga que el v( Tp ) = v( T~p ) = 4; LT excluye casos en que v( Tp ) =  X v( T~p ) = 1; CL tanto los unos cuanto los otros; LT4 no excluye ni a los unos ni a los otros.  X (N;tese que este tratamiento semntico para TL, TL, TL4 y CL no es verifuncional: todo lo  X que viene estipulado es que, si tal f;rmula tiene tal valor, tal otra, con ella relacionada de determinada manera, tenga, o deje de tener, tal otro valor.) Por Cltimo, von Wright esboza una escalada hacia l;gicas al)ticas de ;rdenes superiores. Tomemos una cualquiera de las l;gicas al)ticas aqu1 consideradas, p.ej. LTN: postulemos ahora  X! como axiomas de una nueva l;gica, LTN2 cada resultado de prefijar uniformemente en un teorema de LTN a cada una de las letras esquemticas una ocurrencia de `T'. Esta l;gica al)tica de orden  Xv# superior es ms d)bil. Mientras que  TTpVT~Tp  es un esquema teoremtico de las l;gicas al)ticas  Xe$ de primer orden, no lo es de LTN2. El inter)s de esa introducci;n de clculos al)ticos de orden superior estriba en la posibilidad de que haya Tf;rmulas que no sean ni verdaderas ni falsas. X   b&        ك&p-++PPԌ o 4." Es LT una l;gica paraconsistente?  Afirma von Wright en [ThLs] que, mientras LT y sus extensiones conllevan un planteamiento que admite huecos verivalentes, LT es un enfoque paraconsistente. LT autorizar1a franjas sin valor de verdad, al paso que LT no tolerar1a eso sino s;lo zonas de solapamiento entre la  XB verdad y la falsedad. TL4 tolerar1a ambas cosas, y por Cltimo CL los excluir1a todos ellos. No cabe duda de que efectivamente se da un estrecho parentesco entre LT y una l;gica paraconsistente. En lo tocante a la motivaci;n, es palmaria la afinidad entre el tratamiento de von Wright y los emprendidos por algunos l;gicos paraconsistentes. Sin embargo, en el sentido usual no es paraconsistente ninguna de las l;gicas al)ticas aqu1 consideradas, ni siquiera LT.  XE En efecto, lo ms corriente es definir como l;gicas paraconsistentes aquellas en las que no sea  X. derivable la regla de Cornubia (tambi)n llamada regla de Escoto ), a saber:  p ,  ~p    q . Ahora bien, esa regla es derivable en todos los sistemas al)ticos estudiados ms arriba: para que quepa afirmar un enunciado, har falta que el mismo sea verdadero, y por lo tanto que tenga el valor 4 (en el tratamiento semntico). S;lo las Tf;rmulas son afirmables con verdad. Pero de un par de Tf;rmulas una de las cuales sea la negaci;n de la otra se seguir cualquier conclusi;n. Una teor1a contradictoria que utilice como subyacente a una de esas l;gicas ser, pues, delicuescente. Claro que puede tomarse una teor1a contradictoria, afectar a cada uno de sus enunciados  X con una ocurrencia de `T', y as1 obtener otra teor1a que ya no ser contradictoria, pero que podr  X articularse segCn los patrones de TL, y que contendr, para cierto  p , tanto  Tp  como  T~p . Mas contener ese par de enunciados no es lo mismo que la situaci;n original, del mismo modo que afirmar `A veces me quedo en casa' no contradice a afirmar `A veces no me quedo en casa'. Por otra parte "y aunque no es )sa la manera de enfocar las cosas que parece gustarle ms a von Wright" es dif1cil ver en LT algo que no sea una mera variante notacional de LT. Supongamos, no obstante, que no lo es, sino que constituye una genuina alternativa. Tom)monos muy en serio la semntica tetravalente brindada por von Wright. Eliminamos el valor 2 y as1 tenemos una semntica trivalente (LT y sus extensiones de hecho prescinden de ese valor o  X son incluso incompatibles con su existencia). Tomemos una f;rmula,  p  con el valor 3; su  X negaci;n,  ~p , tendr ese mismo valor 3. Pero tanto  Tp  como  T~p  tendrn el valor 4: ser, pues, total y un1vocamente verdad que es verdad que p, total y un1vocamente verdad que es verdad que nop, pero inafirmable, por carecer de verdad suficiente para ello, que p, igual que inafirmable "por la misma raz;n" que nop. No es eso un poco raro? Por qu) no va a ser afirmable con verdad que p cuando de hecho es verdad que es verdad que p? La respuesta estriba probablemente en esto. En la acepci;n de la palabra `verdad' articulada en LT y sus extensiones, `Es verdad[ero] (o cierto) que' equivale a [lo que solemos decir al usar la locuci;n] `Es al menos parcialmente verdad que'. Y puede ser al menos parcialmente verdad que p, sin que sea por ello afirmable que p; mas s1 ser afirmable con verdad que es  X:# [parcialmente] verdad que p, ya que la oraci;n  Es [parcialmente] verdad que p  ser, en ese  X#$ caso, totalmente verdadera, sin mezcla de falsedad alguna. (Otra cosa sucediera si nos pasramos a los clculos al)ticos de ;rdenes superiores.) Pero esa respuesta lo que evidencia es una vez ms que LT s;lo difiere de LT en un asunto meramente terminol;gico, y nada ms. En el fondo el enfoque que sustenta a LT no contempla en serio como verdaderas a las contradicciones en cuesti;n, no mira como realizado en la zona de transici;n o franja intermedia ni al estado p ni al estado nop; tan s;lo los mira como parcialmenterealizados, sin que sea omitible ese gui;n, salvo cuando por pura convenci;n* p-++PP se tome el vocablo `realizado' como mera abreviaci;n de lo que ahora solemos expresar diciendo `parcialmenterealizado'. La part1cula `parcialmente' es, segCn tal planteamiento, incercenable (salvo por estipulaci;n puramente terminol;gica, segCn lo ya indicado). Cabe, en cambio, un enfoque paraconsistente y gradual1stico que mire todas esas situaciones intermedias como tales que en ellas algo est y no est realizado. Un tratamiento as1 (y los hay  X disponibles) incorporar la regla de apencamiento  Lp    p , lo mismo que la inversa, pero no har redundante al operador `L' de verdad parcial (o hasta cierto punto) porque en un sistema as1 la implicaci;n, `', no ser definible a la usanza clsica, sino que ser una conectiva especial  X tal que v( pq ) ser un valor designado si, y s;lo si, v( p )  v( q ), o sea ssi el grado de falsedad de que q es a lo sumo tan grande como el de que p. No voy a explayarme aqu1, naturalmente, en desarrollar ese tema, sino s;lo a indicar que la principal diferencia entre tal enfoque y el de los clculos al)ticos estudiados en este ensayo estriba en reconocer como teoremticas, bajo ciertas variantes, todas las tautolog1as clsicas. (En el enfoque al que estoy aludiendo ser teoremtico  XX el esquema  pVp , donde  q  viene definido como  NLq , siendo `N' la negaci;n simple o  XG natural, al paso que `' es la negaci;n fuerte, o supernegaci;n [negaci;n clsica].) Ahora bien, un sistema como TL puede venir remodelado de manera que el resultado s1 sea de veras paraconsistente. Mas el remodelamiento lo llevar1a lejos. Habr1a, por un lado, que reforzarlo, para que contuviera la regla de apencamiento. Pero, por otro lado, habr1a que debilitarlo, para evitar que esa regla acarreara las consecuencias que acarrear1a en TL. En particular, ser menester abandonar la regla del modus ponens segCn la contienen todos los sistemas  X9 brindados por von Wright que hemos estudiado aqu1, a saber:  p ,  N(p&Nq)    q . Desde luego se podr1a a la mayor parte de los efectos (y seguramente a todos los Ctiles) reemplazar esa regla por otra igual pero donde la negaci;n simple o natural haya sido sustituida por la negaci;n fuerte, `'. Convendr a9adir algunas conectivas adicionales, como una implicaci;n noclsica, a la  X cual ya he aludido. Todo eso es factible, pero cun cerca, o cun lejos, se hallar el resultado de todo ese proceso del punto de partida? X   b+        ك  o LiBibliogr. 5."  Discusi;n de algunas cr1ticas dirigidas el tratamiento de von Wright  Bibliogr. #  X@ En su art1culo Time, Change, and Contradiction  ( Australasian Journal of Philosophy , 68/3 (junio de 1990), pp. 17888), Joseph W. Smith somete a dura cr1tica el planteamiento de von Wright en [TCC]. Algunas de sus cr1ticas parecen acertadas, pero otras no. Comenta J.W. Smith el aserto de von Wright segCn el cual en ciertos casos pudieran darse lapsos de tiempo que no pudieran venir caracterizados un1vocamente ni como en el estado p ni  XD! como en el estado nop (para un cierto  p  dado), sino tales que, por ms menudamente que los dividi)ramos, en una parte del resultado de la divisi;n habr1a p y habr1a nop ( so to speak). Ms arriba, en el 1, he examinado ese planteamiento y he mostrado c;mo lo que en )l resulta muy problemtico es precisamente que el axioma que von Wright propone sacrificar en los casos de cambio continuo es el B3, no el B4. (En verdad a mi juicio ni siquiera habr1a por qu) abandonar B4 sino meramente reconocer que, aunque, as1 le1do, es verdadero, hay, no obstante, ciertos  X& enunciados  p  tales que es verdad  p&~p  verdad, no totalmente verdad.) La cr1tica que formula J.W. Smith contra esa idea de von Wright es que presupone la  X) equivalencia entre  pV~p  y  ~(p&~p) , la cual no puede venir mecnicamente dada por supuesta al razonar acerca de presuntos mundos verdaderos aunque contradictorios. De ah1 que, aun  X* suponiendo que sea verdad  ~T(pV~p) , en esos casos, no se seguir que sea en ellos verdad* p-++PP  X [lo que en mi transcripci;n se escribe as1]:  L(p&~p . Que en los sistemas usuales de l;gica modal tengan vigencia reglas que permitan inferir lo uno de lo otro (o sendas traducciones, reemplazando el signo `T' por el operador de necesidad, y el `L' por el de posibilidad) eso "dice J.W. Smith" no es ningCn motivo razonable para que valga la inferencia en el caso que nos ocupa. En efecto (p. 181):  yMb Suppose that `pV~p' does not hold, perhaps because of a real indeterminacy in the world. This does not mean that `p&~p' therefore obtains. If a classical logic truth `pV~p' is false of the world, then both `p' and `~p' must be false because in saying that there is some empirical model such that neither `p' nor `~p' hold true is to say that both `p' and `~p' are false. If both `p' and `~p' are false, then `p&~p' is not true. This is reasonable because no sane logic suitable for reasoning in science should allow us to get a true conjunction statement `A&B' from false individual statements `A' and `B'. The logical word `&' can hardly produce truth from falsity. Therefore, indeterminacies do not imply the truth of contradic tM tions.! Todo ese argumento se basa en la presuposici;n de que no se dan grados, sino que la verdad y la falsedad se excluyen de manera total y absoluta. De ser as1, efectivamente ser1a correcto lo que dice J.W. Smith. Pero, si hay grados de verdad y de falsedad "y, por ende, grados de verdad que son tambi)n grados de falsedad", entonces su argumento es un paralogismo. Porque  X supongamos que  pV~p  falla ( does not hold), no en el sentido de que sea del todo falso,  X sino en el de que no es del todo verdadero; entonces tanto  p  cuanto  ~p  sern falsos, segCn concluye, con raz;n, J.W. Smith; pero sern falsos no forzosamente en medida total; es ms, a tenor de nuestro supuesto, no podrn ser enteramente falsos, ni el uno ni el otro, ya que, si uno de los dos lo fuera, el otro ser1a completamente verdadero, y, de ser as1, la disyunci;n tambi)n  X ser1a del todo verdadera; luego tanto  p  cuanto  ~p  sern en algCn grado verdaderos; y por lo tanto la conyunci;n de ambos ser tambi)n en algCn grado verdadera "puesto que lo que es verdad  XW separadamente tambi)n es verdad junto. As1 pues, aunque la conclusi;n,  p&~p , sea hasta cierto  X@ punto falsa, ser tambi)n hasta cierto punto verdadera. La inferencia habr ido de verdad a verdad, de verdad nototal a verdad nototal "pues para que sea correcta una inferencia lo Cnico que se requiere es que no suceda que, siendo las premisas verdaderas, sea completamente falsa la conclusi;n. Igual que uniendo dos cortinas que sean de color a9il se forma una de color azul, ya que lo que es de color a9il es, hasta cierto punto, de color azul, del mismo modo conyuntando  X dos enunciados s;lo parcialmente falsos se forma una conyunci;n [parcialmente] verdadera. Donde s1 llevar1a raz;n J.W. Smith ser1a en se9alar (si lo hiciera) que esa necesidad de tomar en consideraci;n los grados "la cual respaldar1a a una parte del argumento de von Wright  X (a saber: esa parte del mismo que va del [supuesto] fallo de  T(pV~p)  a la verdad de  X!  L(p&~p) )" no asoma para nada en el texto de von Wright comentado, ni en los dems del mismo autor sobre temas emparentados (salvo acaso una alusi;n, en un escrito ms reciente, al tema  X# de la aplicabilidad de las l;gicas difusas,  fuzzy ). Por otra parte, si se introdujera esa consideraci;n de grados, habr1a que modificar tambi)n "y seguramente a fondo" el tratamiento del cambio continuo propuesto por von Wright y asimismo sus propuestas sobre el operador de verdad. En una parte anterior de su escrito, von Wright hab1a contemplado la posibilidad de sacrificar, en lugar de B3 o B4, el axioma B2. Dada su inclinaci;n pluralista, von Wright en realidad no excluye que puedan darse casos de quiebra de cualquiera de esos principios "no lo excluye de antemano. Lo que pasa es que, a la hora de caracterizar al cambio continuo (si lo hay, suponiendo que lo haya), la opci;n por la que opta "en ese trabajo" es la de pensar que* p-++PP en tales casos el axioma que resulta falso es B3. J.W. Smith critica el argumento ofrecido por von Wright a favor de un eventual abandono de B2. Primero voy a citar el final de ese argumento, que lo resume todo ([TCC], p.127 "n;tese que los axiomas que von Wright denomina como An , siendo n cierto nCmero, los he transcrito en este trabajo, para evitar confusiones, como Bn )  tMb To say that a set of states satisfy A1, A3 and A4, but not A2, is to make an assertion of divisibility of an occasion (timeinterval) into discrete bits or stretches such that the set constitutes a statespace  tM for every one of the bits.! La idea es, pues, la de que puede ser verdadera una disyunci;n en, o durante, un cierto lapso aunque ninguno de los dos disyuntos sea verdadero durante todo ese lapso. P.ej. aunque sea verdad que en el siglo XIX Francia fue una monarqu1a o una RepCblica ni es verdad que durante el siglo XIX fue una monarqu1a ni es verdad que durante el siglo XIX fue una RepCblica. La objeci;n de J.W. Smith es )sta (p.181):  tM If `p' or `~p' holds for each of the parts, then as the whole of a temporal interval is nothing more than the sum of successive parts, `p' or `~p' have hold throughout the temporal interval. Indeed to show that `pV~p' holds, whilst neither `p' nor `~p' holds, requires showing that `pV~p' is true, but neither `p' nor  tM$ `~p' is true. This by definition cannot be done when one concedes that `p' and `~p' univocally characterize  tM the parts of our considered temporal interval.! De nuevo aqu1 hay que darle a J.W. Smith raz;n en aquello en que efectivamente la lleva.  Xd Si no hubiera aspectos de verdad, si la verdad se diera o bien en todos los aspectos o bien en ninguno "con lo cual hasta perder1a raz;n de ser la propia locuci;n (acu9ada por el hablante comCn y corriente y por )l profusamente empleada a diario) `en todos los aspectos'", entonces efectivamente la inafirmabilidad de una disyunci;n se seguir1a de la inafirmabilidad de cada uno de los disyuntos. Pero eso nos llevar1a "como ha llevado a tantos autores" a prescindir de los lapsos y a tomar como tiempos (como aquellas entidades que constituyen los cuandos, aquellas con relaci;n a las cuales se relativiza el suceder de algo en cierto tiempo), no a los intervalos, no a las duraciones, sino a los instantes. Lo malo de los instantes es que no s;lo en ellos no pasa nada sino que tampoco permanece nada: nada cambia pero nada sigue siendo igual,  X porque no duran nada . En cuanto introducimos relativizaciones a lapsos que duran, resulta claro que habr verdades disyuntivas que, dichas acerca de un lapso, sean verdaderas del mismo, al serlo de todo )l, aunque ninguno de los disyuntos sea afirmable con verdad del lapso. As1, si decimos `En el siglo XV los europeos viajaban a Am)rica' eso no es afirmable con verdad, porque s;lo durante los Cltimos a9os del siglo suced1a eso. Tampoco es afirmable con verdad que durante el siglo XV los europeos no viajaban a Am)rica. Pero s1 lo es que o viajaban o no. El paralogismo  X % de J.W. Smith estriba en no distinguir entre que uno u otro de los disyuntos haya (en singular)  X% estado dndose durante todo el rato considerado y el que uno u otro hayan venido dndose durante el mismo. No! Uno u otro han estado dndose, unas veces el uno, otras el otro; ninguno de  X' ellos es tal que )l haya estado dndose. El argumento que, por definici;n "segCn )l mismo lo dice", aduce J.W. Smith es uno que presupone un principio de la l;gica clsica que no tiene por qu) valer "y que de hecho no vale" en otras l;gicas: que la afirmabilidad ver1dica de una disyunci;n s;lo se da cuando se d) la de uno u otro de los disyuntos. Desde luego, si no hubiera* p-++PP aspectos de verdad, ese presupuesto clsico ser1a muy razonable, pero, habiendo aspectos de verdad (siendo el mundo multidimensional, por decirlo as1), es perfectamente comprensible que haya  X teor1as correctas no primas , e.d. que afirmen una disyunci;n como verdadera pero no puedan contener la afirmaci;n ver1dica de ninguno de los dos disyuntos. E igualmente que haya cuantificaciones existenciales verdaderas, ver1dicamente afirmables, sin que sea ver1dicamente afirmable ninguna instancia ejemplificativa suya. En cualquier caso, sin embargo "y en eso lleva raz;n von Wright" no ser1a por la v1a del sacrificio de B2 como se adelantar1a en la comprensi;n de los procesos de cambio continuo. Aqu1 asoma antes bien un motivo para otro distingo omitido por von Wright: el distingo entre  X el operador de verdad total y el operador de verdad en todos los aspectos , o sea de ver1dica afirmabilidad. Algo puede ser totalmente verdadero en unos aspectos y en otros no serlo en  Xy absoluto (enti)ndase bien!: no ser en absoluto totalmente verdadero , lo cual no significa forzosamente no ser verdadero en absoluto). Mi conclusi;n de la presente discusi;n es que las estimulantes ideas de von Wright tan s;lo constituyen un primer paso hacia un tratamiento ms exacto y pormenorizado, que incorpore distingos y matizaciones que faltan en los escritos aqu1 examinados del gran l;gico fin)s. Esas matizaciones corren parejas con una apreciaci;n adecuada de los grados y aspectos de la verdad, sin la cual no se avanzar lo suficiente en el tratamiento de problemas como los procesos de cambio, el transcurso temporal, la verdad parcial, la aplicabilidad de predicados difusos, etc. La mayor dificultad en el tratamiento de von Wright estriba, en efecto, en querer evitar la verdad literal de ciertas contradicciones pero aseverar que las mismas son verdaderas en sentido d)bil. Durante el proceso de cambio de un estado p al estado nop no es que sea, en una parte  Xh de esa duraci;n Cnicamente, verdad pynop, sino que durante toda ella ser verdadera esa conyunci;n, s;lo que esa duraci;n ser infinitamente divisible, y para cada divisi;n de la misma  X: en dos partes, una anterior a la otra, ser ms verdad que p en la primera que en la segunda,  X# y ms falso que p en la segunda que en la primera. Una articulaci;n detallada de un tratamiento l;gico que contemple esos infinitos grados cae fuera del cometido de la presente exposici;n,  X lo mismo que un estudio de la relaci;n entre los mCltiples operadores al)ticos requeridos por  X tal planteamiento gradual1stico y los que sern menester para articular la noci;n de aspectos  X de la verdad . Ambas nociones estn conectadas, pero son de suyo diferentes (aunque no puede haber un tratamiento satisfactorio de problemas como los reci)n aludidos sin una introducci;n combinada de los grados y de los aspectos). Cae, evidentemente, fuera de los l1mites de este trabajo dise9ar ni siquiera las grandes l1neas  X de una elaboraci;n l;gica que vaya en esa direcci;n. En Rudimentos de l;gica matemtica (Madrid: CSIC, 1991) se hallar una contribuci;n a esa tarea llevada a cabo con una l;gica para X! consistente particular "denominada la  l;gica transitiva " y desde el ngulo filos;fico del  X"  gradualismo contradictorial . S)ame l1cito ce9irme aqu1 a dos escuetas precisiones al respecto. (1) A pesar de todas las diferencias, ese desarrollo puede verse leg1timamente como algo que lleva ms adelante la empresa iniciada por von Wright, autor al que merecidamente cabe ver como su precursor (si bien es cierto que la labor investigativa que ha desembocado en la invenci;n de la l;gica transitiva estaba ya muy avanzada cuando recibi; el influjo de los trabajos mencionados de von Wright, los cuales, injustamente, hab1an recibido poca discusi;n, sin duda porque las mentes no estaban preparadas entonces para la revoluci;n l;gica que anticipaban). (2) En ese enfoque se utilizan los functores (u operadores), `L' (le1do `Es por lo menos hasta cierto punto verdad que'), `H' (le1do `Es totalmente verdad que'), `N' (le1do `no es verdad* p-++PP que'), `' (le1do `No es verdad en absoluto que'), `B' (le1do `Es verdad en todos los aspectos que' o `Es afirmable con verdad que'), `J' (le1do `Es por lo menos relativamente verdad que'), as1 como cuatro functores didicos: una implicaci;n `', una equivalencia `I' (le1das, respectivamente, como `a lo sumo en la medida en que' y `exactamente en la medida en que'), una conyunci;n ordinaria `U' y una disyunci;n ordinaria `V', tales que valen en ese sistema los siguientes axiomas y reglas de inferencia: h !ddxy~. FF' Addx% h q -  pqI.pUqIp pqI.pVqIq pUqpg p  Bp Bpp pUqI.qUpgg p  Lpc Lp  pc pUqVpIpgg  Hpp pq , p  q NpIpggi  pq.NqNp7 pVpIpgg  N(pUNp) pVNp p, p  qgg7  pINNp LpIp pVq , q  pgg HpILNpE BHpIHBpf pppg LpINHNp pN(pNp) pUqUrI.pU.qUrl