WPC 2kBN Z Courierman3|:Palatino BoldX@KX@Laurentius_PostScript_(HP_LJ_III.PS)LAURENTI.PRSx  @hhhh2.HX@zC8C^dCYdYdYCdd88d8ddddCN8ddddY`(`lC2CC!CCCCCCCCCCd8YYYYYYzYzYzYzYC8C8C8C8ddddddddddYddddYYYYYYYdzYzYzYzYddddddddC8C8C8C8Ndz8z8z8z8z8ddddddCCCoNoNoNoNz8z8z8dddddddzYzYzYdz8dCoNz8dddddurentius_PostScript_(HP_LJ_III.PS)LAURENTI.PRSo\  PChhhh2.HXP2MB; 3'3'Standard6&&ein wittgensteiniana wittgensteiniano6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSx   #x  @U X@# dddd X` hp x 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Barro & A. Sobrino. Ux ;+Santiago de Compostela: Universidad de Santiago, 1993 Ppp. 115-22. L ISBN 8460475107 K   rP G Copyright  1993 Lorenzo Pe9a Ux Ux Ux=n/n/n/  x o ۟ ESES .,,. 6&&ein wittgensteiniana wittgensteiniano6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSx  6&finitif@p@@FF MMx6&StandardNELIA simple interl.DINA4 sans N   #q| P7 qP# dddd      <<  {## v    vv =ESUK# VxzPC &P#X01Í ÍhhX01ÍÍ.  X01ÍÍ.  X1*Í  X1*Í  X01ÍÍ.  sC a@  6Una cadena de reforzamientos difusos de la l;gica del entra9aamiento`"#ă   yQdddy# -t\  PC qP#X X  h > Una Cadena de Reforzamientos Difusos de la L;gica del  h RPԚEntra9amiento   Z R ÚLorenzo Pe9a IInstituto de Filosof1a del CSIC I2Pinar 25, E28006 Madrid, Spain OXFax # +34)915645252  Z* K _mail: lorenzo@sorites.org X #  !a J ddx ! ddx  J T --T -- " uG VH # VxzPC &P#Resumen  uG # 7 UKESEl sistema de l;gica del entailment de Anderson & Belnap, E , fue construido atendiendo a motivaciones muy alejadas de las que animaron a la puesta en pie de los sistemas fuzzy. Sin embargo, el presente trabajo muestra que cabe desarrollar un tratamiento fuzzy  uG aprovechando la construcci;n de E . La idea central de E es que  uG  pq  es verdadero si y s;lo si hay una deducci;n natural de  q  a  uG[ partir de  p  y eso se nota en que en la deducci;n  p  no es una premisa ociosa. Reinterpretamos aqu1 ese v1nculo de relevancia en el sentido de que el grado de falsedad de la conclusi;n no exceda al de  uG las premisas. Reforzando el sistema E con una serie de axiomas adicionales, obtenemos una l;gica conforme con tal lectura.T -- Ua# -t\  PC qP#  Z !a  < vv  1. Algunas Anomal1as de la L;gica del Entra9amiento   Z  "El sistema l;gico del entra9amiento, E , proclamado por sus fundadores, A&B [Anderson y Belnap], como una l;gica a la vez de la relevancia y la necesidad (v)ase [And&Bel), pp.23ss), se ha revelado, ciertamente, menos estable de lo que se hab1a supuesto "habi)ndose propuesto ya un amplio abanico de reforzamientos, esp. por los autores de [RLR], pp. 242ss", y de hecho aun A&B se dieron cuenta de que pueden a9adirse al sistema  Z  E varios axiomas que no van en contra de la motivaci;n del sistema [And&Bel], pp. 340-1. (El hecho ha sido subrayado e investigado desde una amplia gama de perspectivas filos;ficas; v)ase p.ej. la discusi;n de Orayen en [Orayen], n.14, p. 86.) Sin embargo, el  Z" sistema E es un paradigma de l;gica entra9amental. Aquellos reforzamientos que se han propuesto o no tienen transcendencia l;gica significativa o acarrean un abandono de al menos una parte de la motivaci;n inicial "la relevancia" segCn viene caracterizada por las pautas del uso-en-laprueba y del compartir variables "que no obstante son constre9imientos diferentes y separables, segCn lo han mostrado M)ndez (v)ase [M)ndez]), Avron (v)ase [Avron]) y otros autores.  Z( Sin embargo, al sistema E afl1genlo varios defectos. Varios de ellos ya han venido apuntados tanto por la escuela del relevantismo hondo que encabeza Richard Sylvan en [RLR] y en muchos otros lugares cuanto por los ya mencionados M)ndez y Avron. Otros de los defectos no han sido destacados todav1a.+=o.o.o.ԌHe aqu1 algunos de tales inconvenientes. En primer1simo lugar la regla de Adjunci;n  Z "Adj para abreviar" (a saber  p ,  q    pUq ) se introduce como una regla de inferencia primitiva adicional, sin ninguna justificaci;n, mas "peor que eso" es una regla que est  Z aguada en cualquier implementaci;n de ND ( deducci;n natural ) del sistema "de hecho la regla se aplica s;lo dentro del dominio de la l;gica, al no permitir el sistema una  Z aplicaci;n general de la regla en virtud de la cual, de cualesquiera dos premisas  p  y  q ,  Z pueda sacarse la conclusi;n  pUq . Cualquier aplicaci;n del sistema E a una teor1a nol;gica tiene que acudir a aceptar s;lo un axioma nol;gico de la teor1a, que ser la conyunci;n  Z de todos sus axiomas ordinarios . En esa medida cabe tildar al sistema E de no-conyuntivo  Z o no-copulativo, si bien no renuncia completamente a Adj, cual lo hacen otros sistemas paraconsistentes (la l;gica discusiva de Jakowski (v)ase [Cos&Dub]) o el enfoque modal de Rescher & Brandom (v)ase [Res&Bra]). Adems, la motivaci;n nuclear de la l;gica entra9amental fu) el Principio de Entra Z 9amiento ([And&Bel], pp. 277-8), a saber que una inferencia de  p  a partir de premisas  Z  qN ,  q , 8,  q  es vlida sys  rp  es un teorema l;gico, donde  r  es la conyunci;n  Z de  qN ,  q , 8,  q . As1, el sistema E "al rev)s de lo que hacen las l;gicas relevantes  Z  hondas " entroniza la Afirmaci;n Conyuntiva ( pqUpq ). Mas sin una regla de Adj  Z sin trabas no podemos en general concluir  pqUp  a partir de  pq  y  p . As1, E nos impide aplicar prcticamente el Principio de Entra9amiento, o sea en primer lugar sacar  Zy de { pq ,  p } la conclusi;n  pqUp  y luego a partir de esa conyunci;n sola inferir  Zp  q .  Z Adems, el sistema E postula un principio de distributividad que tambi)n causa serias  Z dificultades para las implementaciones de ND y de Gentzen (v)ase [Dunn]), y que en cualquier caso es suficientemente retorcido como para que merezca ser un teorema probado en vez de venir postulado como un axioma. No menos sorprendente es la ausencia de Factor, un principio investigado por R. Sylvan. (Sobre este punto, mis argumentos epilogan los de [Syl&Urb], que es el principal  Z estudio de Factor existente.) Factor es  pq.pUr.qUr . Al carecer de eso, el sistema  Z  E no nos permite concluir que las cabezas de caballos son cabezas de animales de la premisa de que los caballos son animales. Signifique `p' `x es un caballo'; `q', `x es un animal'; `r', `z es la cabeza de x'; entonces la inferencia querida ser1a: zx(pq) zx(yz(pUr) Z yz(qUr)); mas en una extensi;n cuantificacional de E podemos probar s;lo esto: zx,z(pqU.rr))  zx(yz(pUr)yz(qUr)). (Los axiomas para introducir los cuantificadores son improblemticos.) Es decir no podemos simplemente presuponer que lo que es la cabeza de un animal es su cabeza; necesitamos enunciaarlo como una premisa adicional, aunque sea un teorema l;gico. Igualmente, el carecer de Factor entra9a que la teor1a de conjuntos va a hacerse inCtil: definamos la inclusi;n, `xEz', como `zu(uxuz)'; entonces sin  Z{$ Factor perdemos los siguientes principios te;rico-conjuntivos:  xEzzv(xvEzv) ;  Zr%  x=zzu(ux=uz) , siendo definida la igualdad como inclusi;n mutua; y aunque  Zi& sentemos el principio de extensionalidad,  zx,z(x=zzv(xvzv)) , nos vemos "sin  Z`' Factor" incapaces de concluir que  x=z.p[x]p[x/z]  (sea `p', p.ej., `xuUuy'). Mas  ZW( postular la extensionalidad en la versi;n ms fuerte del esquema  zx,z(x=z.p[x]p[x/z])   ZN) produce  x=z.pp , aunque no haya ninguna ocurrencia de `x' en `p'; lo cual es precisamente una versi;n te;rico-conjuntiva de lo que A&B trataban de evitar al proscribir  Z6+ Factor, a saber  pq.rr .6+o.,,))Ԍ Z Es interesante que Factor es "no ya cuando se a9ade a E sino aun dentro de muchos sistemas ms debiles de l;gica relevante honda " equivalente a Inclusi;n, a saber el  Z principio  pqI.pUqIp , donde `I' es implicaci;n mutua. La motivaci;n de Inclusi;n es  Z que  p  implica a  q  sys el contenido  de  q  est incluido en el de  p , e.e. sys  p   Z es equivalente a  pUq  "de modo que al alcanzar  q  s;lo se expresa algo impl1citamente  Z contenido en  p . Tal idea ha sido ampliamente invocada en apoyo a la l;gica relevante. Y, sin embargo, s;lo l;gicas relevantes sumamente d)biles pueden admitir Factor (o  Z Inclusi;n); porque, si una l;gica tiene MP, Adj, la regla de transitividad ( pq ,  qr   Z   pr ), Conmutatividad de la disyunci;n y de la conyunci;n, Adici;n ( p.pVq ) y  Z Simplificaci;n ( pUqp ), entonces, si tiene o bien Idempotencia de la conyunci;n  Z ( p.pUp ) o de la disyunci;n ( pVpp ), o, si no, la Distributividad mutua, tiene como  Z un teorema  pp.qq . (V)ase [Syl&Urb] nuevamente.)  Z Grav1simo es que el sistema E permite la supresi;n (u omisi;n) de entra9amientos demostrados s;lo en forma exportada, mas no en forma importada. Eso es extra91simo, puesto que A&B ([And&Bel], p.262) alegan que la omisi;n es lo que lleva a la err;nea  Z ley de exportaci;n en CL (la L;gica Clsica). E otorga un estatuto privilegiado a las  Z f;rmulas implicacionales entronizando principios como el de Supresi;n ( ppqq )  Z y transitividad exportada ( pq.qr.pr ), cuando la Cnica manera natural de justificarlos es permitir la Exportaci;n para f;rmulas implicacionales, debido a su estatuto  Z especial "algo que E no llega a aceptar. As1 aunque a partir de  pNp.qrs  "con  Z tal de que  qr  sea un teorema" podemos deducir  pNps , no podemos sacar la  Z} misma conclusi;n a partir de  pNpU(qr)s , aun cuando  qr  sea un teorema l;gico.  Zt Conque  pqU(rr)s.pqs  no es un teorema de E . SegCn eso, una conyunci;n de dos f;rmulas implicativas no ha de venir considerada en absoluto como una f;rmula implicativa! Aunque esos diversos defectos pueden parecer inconexos, de hecho vienen de la misma fuente: el estatuto debilitado de la conyunci;n y el carecer de lo que podemos llamar axiomas de interpolaci;n "axiomas que son ms sencillos y por los cuales los axiomas  Z menos obvios de E se har1an teoremas demostrables.    h M      ك  Z X5 2. una l;gica de la difusidad resultante de reforzar el sistema e ă Tomando como punto de partida las consideraciones precedentes, voy a proponer  Z una cadena de reforzamientos del sistema E que lo curen de las anomal1as. Lo que es ms interesante es que los sistemas resultantes son claramente interpretables como l;gicas de  Z" la difusidad o la gradualidad. As1 el functor `'de E , debidamente fortalecido, recibe una atractiva interpretaci;n como `en la medida [por lo menos] en que'. Dotado de tal lectura,  Z$ el functor ha de ser ms fuerte que la flecha original de E , bajo presuposiciones naturales acerca de la estructura de los grados de verdad.  Z' As1, los sistemas resulantes estn ms cercanos a CL . No son relevantes, en el sentido de que no cumplen con los constre9imientos relevantistas "al menos no con el de compartir variables. Cumplen el constre9imiento de usoenlaprueba, con algunas adaptaciones. Mas  Z) la implementaci;n de la ND no entra en el presente trabajo. Los sistemas resultantes de l;gica difusa o gradualista son intermedios entre la l;gica clsica y la del entra9amiento.  Z+ La aproximaci;n a CL va todav1a ms all. De hecho, varios de los sistemas contienen+o.,,))  Z toda la CL , y son realmente extensiones conservativas de CL . S;lo que a la negaci;n `'  Z de CL se le da ahora una lectura diferente de la acostumbrada. Se lee ahora como `no8en absoluto'. La negaci;n clsica es negaci;n completa "el functor que env1a lo [en una u otra medida] verdadero sobre la falsedad completa, y lo del todo falso sobre la verdad  Z completa. Estos sistemas son a CL como la l;gica relevante trataba de ser a la l;gica intuicionista. Todos estos sistemas tienen las leyes de no-contradicci;n y de tercio excluso. Son sistemas paraconsistentes copulativos. Paso ahora a construir la cadena. Sistema P0 = E Sistema P1 = P0 + Factor  ZH Sistema P2 = P1 + Linearizaci;n ( pqV.qp )  Z Sistema P3 = P2 + el Principio SelfSelf ( N(ppN(pp)).pp )  Z" Sistema P4 = P3 + IF [Embudo Implicacional] ( pqV.pqr )  Z Sistema P4.5 = P4 + Mingle = CL . Mingle es  p.pp   Z Sistema P5 = P4 + uno de )stos: Arist;teles ( N(pNp) ), Boecio ( pqN(pNq) )  Z o Contradicci;n (a saber, para alguna constante sentencial particular, j:  jUNj )%"  Z` Sistema P6 = P4 + estos dos principios:  pq.NHNHpHq  y  HpqV.Npr  (`H' se lee: `Es del todo verdad que').%" Sistema P3.5 = P3 + esos dos principios que involucan a `H' = P6 menus IF  Z% Sistema P7 = P6 +  HpVNp   Z Sistema P8 = P3.5 + estos dos:    y  pV.pq  (`' es una constante sentencial que significa a la conyunci;n de todas las verdades)%"  Z Sistema P8.5 = P8 +  H  = CL  Z] Sistema P9 = P8 +  NH()   Z Sistema P10 = P8 +  HN(N)  Puede probarse que P8 contiene P7; que P10 contiene P9; que P9 contiene P5; que  Z( P8 es una extensi;n conservativa de CL (si la negaci;n clsica, `', se define como `HN'), y que P5 y aquellos sistemas que contienen a P5 no son meramente paraconsistentes sino  Z" contradictoriales (tienen el teorema de Herclito:  N(pp) ). (De hecho,  N(pp) Z# (pp)(pp)N(pp)N(N(pp)(pp)(pp)N(pp))  es un teorema de  Z#  E ; la ap;dosis es la negaci;n de la pr;tasis; cuando agregamos el principio de Arist;teles o el de Boecio, el resultado es inmediato: la negaci;n del teorema es tambi)n un teorema.  Z% Mas en P1 probamos  pUNpN(qq) .) Entre todos esos sistemas, P5 y P10 son con mucho los ms importantes. Son los ms estables. La motivaci;n principal para pasar de P4 a P6 y ms arriba es la de englobar  Z/) a CL dentro de la l;gica difusa, como el caso extremo en que se trata de o bien falsedad completa o no (alternativamente de o bien verdad completa o no). El sistema P8 y los que estn por encima de )l permiten implementar el condicional clsico (que puede definirse+o.,,)) de la manera usual con negaci;n fuerte, `', y disyunci;n, `V') del modo relevantemente  Z recomendado:  pDq  sys hay alguna verdad, a saber `', tal que  pUq . Ofr)cense ms abajo varias axiomatizaciones de tipo Hilbert, ms elegantes que la presentaci;n gen)tica reci)n descrita. He aqu1 una axiomatizaci;n para P5 con diez axiomas y una regla de inferencia primitiva: S1mbolos primitivos: `U', `N', `'. `p', `q' etc se usan como letras esquemticas. Las convenciones notacionales son como las de Church.  Z  Definiciones:  pVq  abr  N(NpUNq) ;  ' p  abr  N(pNp)  B"B"B9"҇P5a01 pqrU(qpr)r P5a02 pqU(qr).pr P5a03 pUqUr.rUpUq P5a04 pUqp P5a05 pqrsU(' (pp)(pq)s)s_o.,,)) P5a06 pq.rs.pqU.rs P5a07 pq.p.pUq P5a08 NpqN(pq) P5a09 pNq.qNp P5a10 NNpp8_o.,,)) ,,))8ԯ Z  Regla de Inferencia: DMP (e.d.modus ponens disyuntivo): para n1: pNqV(pq)V8V.pq, pN, 8, p  q  Z MP [Modus Ponens] es un caso particular de esa regla "aquel en que n=1. Adj es una regla derivada de inferencia.  Z3 El significado de DMP es que deducir  q  a partir de un nCmero de premisas es  Z& mostrar que  q  se deduce a partir de por lo menos una de ellas. Lo cual no significa que necesariamente haya una prueba a partir de una de las premisas sola, puesto que la prueba entera de la conclusi;n a partir de las premisas consiste en mostrar que o se sigue de la primera premisa, o de la segunda premisa, etc. Esas deducciones no son pruebas completas, sino ramas de pruebas o sub-pruebas alternativas. Cinco axiomatizaciones alternativas del sistema P5 vienen ofrecidas ahora. Para la  ZB 2, 3, 4 y 5 se tienen las mismas definiciones y misma regla de inferencia (DMP) que arriba. (En el caso de la axiomatizaci;n 5, la regla puede restringirse.)  Z  2 axiomatizaci;n P5b01 ppqq P5b02 pqU(qr).prp"o.,,)) P5b03 pUqUr.rUpUq P5b04 pUqp8p"o.,,))g#!,,))8ԯ Z# P5b05 pqpp (si  p  es una f;rmula implicacional)  ZJ% P5b06 p.q.pUq (si  p  y  q  son f;rmulas implicacionales) P5b07 pq.p.pUq P5b08 N(Npp) P5b09 pNq.qNp P5b10 NNpp*o.,,))ԌP5b11 pqV.qp P5b12 ' (pp).ppmo.,,)) 8&o.,,))&,,))8ԯ Z   3 axiomatizaci;n P5c01 pqr.qprr P5c02 pq.qr.pr P5c03 pUqUr.rUpUq P5c04 pUqpo.,,)) P5c05 ' (pp).pp P5c06 p(qr).pUqr P5c07 ' NpNp.pqpp P5c08 pq.p.pUq8! o.,,)) t,,))8ԯP5c09 Nppp (o, alternativamente: pUNqN(pq)) P5c10 pNq.qNp o.,,)) P5c11 NNpp8 o.,,))  ,,))8ԯP5c12 pNqN(pq) (o, alternativamente, UN, siendo `' una constante primitiva)%"  Z  4 axiomatizaci;n P5d01 ppqq P5d02 pq.qr.pr P5d03 pUqUr.rUpUq P5d04 pUqp P5d05 pqrV.pq P5d06 pq(qp).qp]o.,,)) P5d07 pq.p.pUq P5d08 Nppp P5d09 Npq.Nqp P5d10 pNNp P5d11 pqN(Npq)) P5d12 N(pp).ppN(pp)8]o.,,))T<,,))8ԯ Z  5 axiomatizaci;n P5e01 pq.qr.pr P5e02 pUqp P5e03 pq.rUp.qUr P5e04 NNp.pUp P5e05 pqrV.pqo.,,)) P5e06 pqrU(qpr)r P5e07 pNqN(pq) P5e08 pqN(pUNq) P5e09 pNq.qNp P5e10 ' (pp).pp8o.,,)) 1,,))8ԯ Z! La regla DMP puede "en esta axiomatizaci;n" debilitarse exigiendo que n2, gracias a  Z|" P5e05, e.e. IF "tomando como una instancia de ese esquema:  pqqV.pq ; apl1case otro tanto a cualquier otra f;rmula con el mismo tenor disyuntivo del axioma, p.ej. la cuarta  Zd$ axiomatizaci;n con P5d05. MP puede verse como entimemtico.  Z%  6 axiomatizaci;n  Z4' Primitivos: V, t , , N.  pq  abr  pqU.qp ;  pUq  abr  N(NpVNq) . `t' es un nuevo primitivo (que quiere significar la conyunci;n de todas las verdades implicativas). `' es una constante sentencial cuyo sentido no nos concierne aqu1. Dos reglas de inferencia:  Z* MP y Adj.*o.,,))ԌP5f01 tppddQ P5f02 pq.qr.pr P5f03 p(pq).pq P5f04 p.pVq P5f05 q.pVq P5f06 pq.rq.pVrqo.,,)) P5f07 pNpNp P5f08 pNq.qNp P5f09 NNpp P5f10 NU..N P5f11 t.pqV.qpU.pqr8o.,,))$,,))8ԯ Z Probamos que  t . De hecho, podr1amos usar uno solo de esos dos primitivos, salvo que por razones filos;ficas es mejor probar su equivalencia que postularla. Sobre la base de P4 los siguientes son equivalentes (y todos ellos acarrean un derrum Zm bamiento en CL ): pqV.qrV.pr (e.e. la f;rmula de Dugundji en 3 letras esquemticas)%" p.pqq (Aserci;n Exportada) p(qr).q.pr (Permutaci;n) pUqr.p.qr (Exportaci;n) pUqr.pUNrNq (Antilogismo) p$qr.p.qr (El principio de fusi;n , donde `$' es un functor primitivo de fusi;n )%" p.q.pUq (el Principio de Adjunci;n) p.pp (Mingle) pUNpq (Cornubia) p.qp (VEQ) pqV.qro.,,)) N(pp)q N(pp).q.pp N(pq).pp p.qq8"o.,,)) ,,))8ԯAhora presentamos una axiomatizaci;n para P10 agregando a P5 los siguientes es Z quemas axiomticos (`H' es un functor primitivo mondico, mientras  p  abr  HNp  y  Zw  pDq  abr  pVq ): P10a1 pUpq P10a2 pq.HpHq P10a3 Hpp P10a4 NHpHp+$o.,,)) P10a5  P10a6 pD.p P10a7 H' N8"o.,,))"%,,))8ԯ Z% Puesto que en P10 podemos probar el Embudo (a saber  pqVp ), hcese redundante IF (tal como se postula en todas las formulaciones precedentes de P5 "ya sea como tal  Z' o como Peirce implicacional, e.e.  pqpp  con tal de que  p  sea implicacional). As1 ha de encontrarse una axiomatizaci;n ms elegante de P10.    h) M      ك)o.,,))Ԍ Z  D 3. algunos resultados sobresalientes ă He aqu1 una corta lista de esquemas teoremticos y reglas que pueden probarse y derivarse, respectivamente, en P10: B9"C|"҇pDq , p  q pqD.pDq pDq, q  p o.,,)) pUq(pVq) pVq(pUq) pDq  pVrD.qVr o.,,)) pD.qD.pUq p.qDp p.pDq> o.,,))   ,,))>ԯPuede probarse fcilmente que el fragmento de P10 en es exactamente  Z  CL "de la cual, por lo tanto, P10 es una extensi;n conservativa. Miremos a P10 como  Z el resultado de agrandar CL con dos nuevos functores, una negaci;n no fuerte, `N', y una  Z implicaci;n, `'. El sentido buscado es que  pq  es verdadero sys el grado de verdad  Z de  p  es menor que el de  q  o igual a )l, ya que  Np  es tan verdadero {falso} como  Z  p  es falso {verdadero} "e.d. la negaci;n natural o sencilla invierte el orden expresado por `', y eso es todo lo que hace. En el presente contexto leer1amos la negaci;n clsica, `', como `no8en absoluto'. La existencia de dos condicionales (el mero condicional, `D', y la implicaci;n, `') entra9a que hay en P10 dos relaciones de deducci;n diferentes. Podemos tener `' como expresando mera inferencia, mientras usamos `*' como expresando una relaci;n de  Z inferencia ms fuerte, a saber: pN, 8, p *P10q sys  pN8pq  es un teorema de P10; mientras que para `' tenemos el metateorema clsico de la deducci;n, a saber: pN, 8,  Z p, r P10q sys pN,8,p P10rDq "los teoremas son las f;rmulas que son -inferidas a partir de un antecedente vac1o. Claramente si p*q entonces pq. Nuestra teor1a de pruebas ha de implementarse de tal forma que se tomen en cuenta esas diferencias. El entra9amiento, debidamente reforzado, es un functor sensible a las diferencias de grado, mientras que el mero condicional, `D', s;lo toma en cuenta si las f;rmulas son  Z  completamente falsas o no. CL es un sistema pobre, no uno malo. Su defecto consiste en el hecho que, careciendo una implicaci;n y una negaci;n sensibles a los grados, fuerza  Z a la gente a pensar, legislar y actuar en t)rminos de todo o nada "puesto que CL desconoce la diferencia entre `enteramente' y `un poco', viendo como meramente estil1stica, no  Z semntica, la diferencia entre el ser completamente cierto que y el ser [simplemente] cierto [`cierto' en el sentido de `verdadero']. He aqu1 un tratamiento semntico de P5 y P10. Por una P5-matriz significamos un  d/! lgebra A =<A,O,D> donde A es un conjunto bien ordenado de entidades, DEA, y O es un conjunto ordenado de operaciones , siendo N unaria y las dems binarias y tales que hay tres elementos , 0, 1 que satisfacen estos postulados: 0 es el m1nimo; 1,  d$ el mximo; xVz = max (x,z); xUz = min (x,z); xz sys NxNz; N=; D es un filtro propio  d% tal que D; xz =:  si xz, y, si no, 0; N0=1; NNx=x. Sea T una extensi;n de P5.  d & Una valuaci;n, v, es una funci;n de T a una P5-matrix, A , tal que, para cualesquiera dos  d' f;rmulas,  p ,  q , las condiciones usuales son satisfechas: v(pUq) = v(p)Uv(q), y similarmen d( te para los dems functores y operaciones. Una f;rmula  p  de T es vlida sys cada  d) valuaci;n, v, es tal que v(p)D (el respectivo conjunto de entidades designadas dentro  d* de su campo de valores). Una inferencia (e.e. un par ordenado <C, p > donde C es un  d+ conjunto de f;rmulas) es vlida sys cada valuaci;n v que sea tal que, para cada  q C,+ o.,,))  d v(q)D es asimismo tal que v(p)D. Claramente, las P5-matrices son lgebras de Kleene (e.e. lgebras cuasibooleanas que satisfacen el postulado de Kleene: que xUNx  zVNz). De hecho se prueba fcilmente que cada P5-matriz finita es isomorfa a una cuyo portador es un subconjunto finito del conjunto de los nCmeros enteros tal que, para cada nCmero entero positivo n a ella perteneciente, su negativo tambi)n pertenece, y rec1procamente: el  algebraico ser el cero num)rico, mientras el 1 algebraico ser el nCmero mayor del conjunto. La solidez y la completez se prueban fcilmente. N;tese, sin embargo, que ninguna  d de esas matrices [finitas] es caracter1stica. Mas formemos una P5-matriz infinita, A , cuyo portador comprenda a un subconjunto infinito cualquiera de los nCmeros naturales,  d incluyendo a cero, y sus negativos respectivos, ms  y -. Sea D [0,]. Entonces A  es caracter1stica en el sentido de que s;lo todos los P5 teoremas son enviados a elementos designados, mas no es fuertemente caracter1stica: hay inferencias vlidas (con respeto a  d  A ) que no son derivables en el sistema P5 (p.ej. { p , Np , q , Nq }   pq ). De otro lado si hacemos que el conjunto de valores designados abarque a todos los elementos  Zt excepto -, habr f;rmulas vlidas que no son teoremas de P5; p.ej.  pqVp  (Embudo). Formemos una P10-matriz agregando a una P5-matrix una operaci;n unaria adicional, H, y elementos adicionales, 3 y , tales que: 3=N; x si x/0; Hx=: 1 si x=1, y si no 0 (1 y 0 son los 1 y 0 algebraicos respectivamente). Una valuaci;n es una funci;n de una  d P10teor1a T a una P10-matriz (sentamos que v()= etc). Ahora, no s;lo se obtienen la solidez y la completez sino que "cosa ms importante" hcese disponible una matriz fuertemente caracter1stica: el conjunto de todos los nCmeros enteros ms cuatro elementos adicionales, > 3  cada nCmero entero; y por supuesto cada nCmero entero  -3 =   d > -, abarcando D a todos los elementos excepto -. Esa matriz es la P10 matriz can;nica. As1 P10 tiene la propiedad del modelo finito, a saber que cada extensi;n noconservativa suya [que sea nodelicuescente, e.e. Post-consistente] tiene una matriz caracter1stica  d finita. Porque sea L una extensi;n tal de P10. Hay una f;rmula o un esquema  p  en el  d vocabulario de P10 que es un teorema en L mas no en P10. Sean B y v una P10 lgebra  d y una valuaci;n, respectivamente, tales que v(p) sea designado. La raz;n no puede ser que el conjunto de elementos designados haya sido ampliado, por supuesto. Si el portador  d de B es infinito, entonces B es isomorfa a la matriz can;nica de P10. As1 pues, B es finito.  d Lo cual entra9a que para algCn nCmero natural n L es P10 ms la f;rmula de Dugundji  Z en n disyuntos, a saber:  pNpV.8V.pNpV.8V.p-Np . Ninguna de esas f;rmulas es un teorema de P10. Cuando se usan cuantificadores proposicionales con los postulados usuales (v)ase  Z" [And_Bel_Dun], pp. 19ss), "usando `j' como una variable proposicional" definimos  ~p   Z # como  pzjj , y  p q  como  yj(jUpqUj) ; el fragmento del sistema resultante, P10yzj,  Z5$ en es exactamente CL . En ese sentido P10 es a CL precisamente como E es  Z_% a la l;gica intuicionista.`_% M' ԍLa investigaci;n aqu1 plasmada se desarroll; principalmente durante mi estancia como Visitante en la Universidad Nacional Australiana (01-11-1992 a 30-041993), gracias a una beca del MEC. Vaya mi profunda gratitud a Richard Sylvan, cuya ayuda ha tenido un valor enorme; a Graham Priest, R.K. Meyer y J. Slaney d)boles Ctiles sugerencias y comentarios.    h& M      ك& o.,,))Ԍ Z fN 4. Referenciass ă  v [And&Bel]  ZX  *Alan R. Anderson, Nuel D. Belnap, Jr., et alii, Entailment: The Logic of Relevance  ZK and Necessity, vol. I. Princeton U.P., 1975.%" [And_Bel_Dun]  *Alan R. Anderson, Nuel D. Belnap, Jr. and J. Michael Dunn (with the collaboration  Z  of others) Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, vol. II. Princeton U.P., 1992.%" [Avron]  Z  *Arnon Avron, Whither Relevant Logic? , Journal of Philosophical Logic 21/3 (Aug 1992), pp. 24382.%" [Cos&Dub]  Z  *N.C.A. da Costa & L. 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