WPC\ 2 BN Z^ USES3|] Laurentius_PostScript_(HP_LJ_III.PS)LAURENTI.PRS]iP;rEhhhh2.HP2 mYRe"^*8DSS888S^*8*.SSSSSSSSSS..^^^Jxooxf]xx8Axfxx]xo]fxxxxf8.8NS8JSJSJ8SS..S.SSSS8A.SSxSSJP!PZ8*888888888888S.xJxJxJxJxJooJfJfJfJfJ8.8.8.8.xSxSxSxSxSxSxSxSxSxSxJxSxSxSxSxJxJxJoJoJoJoJxSfJfJfJfJxSxSxSxSxSxSxSxS8.8.8.8.AxSf.f.f.f.f.xSxSxSxSxSxSxo8o8o8]A]A]A]Af.f.f.xSxSxSxSxSxSxxSfJfJfJxSf.xSo8]Af.xSxSxSxSxS"m^FFYާ8SSaFSFFFFõF}еçõ짧FFFu8}F88}8ЋS}F}}}}TATSFSS*SSSSSSSSSSF޵}FFFFFFFFËËËË}ÙË}}}}}ËËËËËËFFFFF8FF}}88888ËËSSS}}}}FFF쵧}}}}8S}F}}ËKXFS][0SSSS}}8S"^SSk CdduSdSSSS1SSSSCSCCCdSdNddSdd,2ddddddddddS, SSSSSSSSSSSSSCSSCCCCC,dddSSSCdSKiSdon9dd,dd,,Cd,"m^FFYާ8SSaFSFFFFõF}еçõ짧FFFu8}F88}8ЋS}F}}}}TATSFSS*SSSSSSSSSSF޵}FFFFFFFFËËËË}ÙË}}}}}ËËËËËËFFFFF8FF}}88888ËËSSS}}}}FFF쵧}}}}8S}F}}ËKXFS][0SSSS}}8S2Q  m 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Alchourr;n, J.M. M)ndez & R. Orayen % Madrid: TrottaCSIC, 1995, pp. 32349  ^ -c   .tISBN 848164045X 7 7 7=.,.,., )   o ۟ ESES .,,. 3'3'Standard6&finitif@p@@FF MMx6&StandardII.PS)LAURENTI.PRS]i   #XpiP;rEXP#    #-t\  PCqP#  [C # L;gicas multivalentes  por Lorenzo Pe9a`"#^ă   yNdddy=7  e - L;gicas multivalentes  Z  1 dddd Lorenzo Pe9a -  yO 4Sumario 3 I Introducci;n hist;rica II Las l;gicas multivalentes como l;gicas algebraicas  yOF III Conclusiones -  Z +i introducci;n hist;rica 3 v  kkLa idea central subyacente a la construcci;n de l;gicas multivalentes es la de que hay un cierto campo fronterizo entre la verdad total y la completa falsedad. Esa idea no es ningCn invento de algunos l;gicos contemporneos, sino que tiene hondas y remotas ra1ces en el pensamiento humano, y cabe alegar a su favor muchas consideraciones de muy diversa 1ndole, desde las puramente filos;ficas hasta las referidas a dificultades surgidas en no pocas disciplinas cient1ficas por la pretensi;n de encasillar cada situaci;n en uno de los dos polos, o valores de verdad , de la l;gica clsica. kkSin remontarnos a pensadores a quienes, como a Herclito y a Plat;n, cabe fundadamente atribuir la propuesta de situaciones intermedias entre esos dos polos o extremos "en el caso de Plat;n con su tesis de grados de verdad o de realidad", hay algCn indicio a cuyo tenor no pareciera descaminado ver en Raimundo Lulio y en Nicols de Cusa, entre otros, esbozos, todo lo rudimentarios que se quiera, de algo as1 como l;gicas multivalentes. Sin embargo, fue uno de los fundadores de la l;gica contempornea, Charles S. Peirce, quien, junto con muchos otros logros, esboz; claramente, por vez primera, un sistema de l;gica trivalente y adems elabor; argumentos filos;ficos convincentes a su favor. Sus apuntes al respecto recorren un largo lapso, mas en cualquier caso se sabe que en 1909 desarroll; esas ideas y alcanz; resultados rigurosos. Su plan de una matemtica tridica o tricot;mica conceb1a la inclusi;n del dominio lim1trofe entre la afirmaci;n y la negaci;n positivas  como un ensanchamiento ms que como un debilitamiento de la l;gica clsica (el principio de tercio excluso no hab1a de venir omitido, pero s1 reinterpretado de tal forma que no fuera enteramente verdadero). Peirce no public; esos esbozos, desgraciadamente, y su obra no influy; en el ulterior [re]nacimiento de las l;gicas multivalentes. (Sobre el aporte de Peirce, vid. Rescher, 1969, 45; ese mismo libro es la mejor fuente bibliogrfica y de referencia para buena parte de las someras indicaciones de esta secci;n.) kkEl primer sistema estricto de l;gica multivalente en ser dado a conocer en pCblico fue el sistema trivalente del l;gico polaco Jan ukasiewicz en 1920 (ver ukasiewicz, 1967). Durante los a9os 20 el propio ukasiewicz y otros l;gicos polacos desarrollaron ese sistema y fueron inventando otros con ms de tres valores de verdad. Uno de esos l;gicos, M. Wajsberg, brind; en 1932 una axiomatizaci;n completa para la l;gica trivalente de ukasiewicz: )ste, por su parte, ya en 1930 expres; su preferencia filos;fica por la l;gica infinivalente. Siguieron en a9os sucesivos numerosos trabajos de estudio sintctico y semntico de esos y otros sistemas multivalentes por diversos l;gicos polacos, como J. Supecki, Boleslaw Sobociski, St. Jakowski, etc. kkIndependientemente, el l;gico norteamericano E. Post invent; en 1921 otro sistema diferente de l;gica trivalente. Luego generaliz; su tratamiento a m valores (para m finito). Desde el punto de vista l;gico, suscita una dificultad el tratamiento de Post, y es que lo que )l propuso fue una l;gica, no de enunciados, sino de conjuntos de enunciados, por lo cual no resulta fcil entender sus sistemas como clculos sentenciales. Pero dieron lugar a'-=o.o.o. estudios algebraicos que luego se han revelado fruct1feros. En ese orden del estudio algebraico han abundado cada vez ms las contribuciones destacadas, entre las que cabe citar las de Gregor Moisil ya antes de la II guerra mundial (en Moisil, 1972), y luego Balbes & Dwinger (1974), Varlet (1975), Rasiowa (1974), el matemtico portugu)s Antonio Monteiro y su colaborador y disc1pulo argentino "radicado durante un tiempo en el Brasil" R. Cignoli (1980). kkOtro aporte muy original fue el de S.C. Kleene, cuyo sistema l;gico trivalente, de 1938, presentaba rasgos que lo separaban, interesantemente, de los de ukasiewicz. Igualmente original era el sistema trivalente del l;gico ruso Bochvar (propuesto en 1939), que postulaba 3 valores, V, F e I, y que atribu1a I a cada f;rmula no at;mica que tuviera entre sus componentes una f;rmula con valor I. Ese sistema no tiene tautolog1as, pero recientemente Urquhart (1986) ha probado su inter)s desde el punto de vista de la teor1a de pruebas. kkUrquhart aborda ese estudio y el de otros clculos multivalentes "incluido uno que )l propone y que ha sido desarrollado en M)ndez (199?)" utilizando un nuevo y ms  Z  fecundo enfoque, que es el matricial, un cruce entre teor1a de pruebas y l;gica algebraica, y que consiste en dilucidar qu) relaciones de consecuencia vienen determinadas por la asignaci;n de ciertas lgebras como modelos para los clculos l;gicos que se trate de estudiar. Ese tratamiento matricial "dentro del cual se ubica el presente estudio tambi)n" ha sido desarrollado, entre otros, por Malinowski (1979), Rautenberg (1979) y sobre todo el ya citado Urquhart. kkNo sin conexi;n con los desarrollos ya mencionados, tuvieron lugar otros que no pueden dejar de considerarse dentro del mbito de las l;gicas multivalentes: la axiomatizaci;n de la l;gica intuicionista por Heyting en 1930 (desde el punto de vista algebraico ese clculo se caracteriza por lgebras pseudocomplementadas, en el sentido indicado en el 2 de este trabajo) y ms aCn los clculos propuestos por Kurt G?del en 1932 (cuya contraparte  Z algebraica son lgebras de Stone; ver 2, infra); sobre esos aportes, ver Rescher (1969). Otra exploraci;n de las l;gicas multivalentes se efectu; con vistas al tratamiento de anomal1as en la f1sica cuntica; fue iniciada en 1937 por P. D)touchesF)vrier y desarrollada por Reichenbach en 1944 (ver Haack, 1974, 148 ss, 1724). kkUna aut)ntica explosi;n de estudios y de aplicaciones de l;gicas multivalentes ha tenido lugar desde que en 1965 el trabajo pionero del ingeniero electr;nico californiano Lof Z ti Zadeh (ver Zadeh y ot. (1975)) inaugur; el tratamiento de las l;gicas de lo difuso, y de  Z las teor1as de conjuntos difusos. La idea central (que ya antes hab1a sido propuesta, entre otros por Rescher) es tomar como funci;n caracter1stica de un conjunto una que tome sus valores o imgenes en un conjunto de ms de dos valores de verdad "preferiblemente en un dominio de infinitos valores. Aunque enfoques de ese g)nero no han suscitado ni mucho menos unanimidad y siguen siendo speramente controvertidos, numeros1simos cient1ficos de las ms variadas disciplinas han abrazado con ardor ese tipo de tratamientos, habi)ndoles encontrado, o cre1do encontrar, mCltiples aplicaciones en sus respectivos campos. Ms que nada descuella en esa porf1a la informtica, donde, curiosamente, el binarismo que parec1a subyacente de manera definitiva se ha visto as1 contrarrestado o acaso completado por los tratamientos multivalentes. El hecho es que quienes ms han contribuido a propagar el uso y cultivo de las viejas y nuevas l;gicas multivalentes han sido los ingenieros electr;nicos. Desde esa perspectiva han surgido un sinf1n de nuevos tratamientos algebraicos, p.ej.L+o.,,&& (destaca aqu1 el grupo barcelon)s de Enrique Trillas, L. Valverde y otros; ver, a t1tulo de ejemplo no ms, Trillas & Valverde (1982)). No sin parentesco con esa l1nea de estudios estn los nuevos tratamientos de inteligencia artificial y temas conexos utilizando l;gicas  Z paraconsistentes multivalentes, como las l;gicas anotadas (en las que una f;rmula dice  de algCn modo qu) valor o grado de verdad posee: ver da Costa, Subrahmanian & Vago (1989); ello guarda afinidad con lo esbozado en el 2, hacia el final). Entre las l;gicas multivalentes que son a la vez paraconsistentes cabe asimismo mencionar una l;gica trivalente que ha sido separada e independientemente descubierta e investigada por varios autores; entre ellos el autor de estas pginas, por un lado, y por otro da Costa e 0tala d'Ottaviano, conjuntamente; )sta Cltima la ha estudiado a fondo en su tesis d'Ottaviano (1982). kkOtra rea donde ha prosperado la l;gica multivalente es la del tratamiento semntico de las l;gicas relevantes, desarrolladas desde los a9os 70; ver Anderson & Belnap (1975). La relaci;n entre l;gicas multivalentes y l;gicas de la relevancia ha sido investigada, p.ej., por Urquhart, en su trabajo ya citado, y por Sylvan & Urbas (1989). Alguna de las l;gicas estudiadas en este Cltimo trabajo guardan estrech1simo parentesco con las que ms centrarn nuestra atenci;n en la segunda mitad o as1 del 2. (Sobre ese parentesco, volver) justamente al final del 2.) kkHasta que se empez; a trabajar en teor1as de conjuntos difusos prevalec1a en el estudio de l;gicas multivalentes la preferencia por l;gicas con un nCmero finito de valores. Pero para su aplicaci;n a la teor1a de conjuntos, se han visto las ventajas de la infinivalencia. Desgraciadamente, sin embargo, resultaba muy dif1cil dar un tratamiento axiomtico adecuado a clculos cuantificacionales infinivalentes (la extensibilidad cuantificacional de las l;gicas multivalentes en general se ven1a investigando desde hac1a tiempo, sobresaliendo el aporte de Rosser & Turquette (1952), c. V, 62 ss; mas la prueba de la inaxiomatizabilidad  Z del sistema  Q de l;gica cuantificacional basado en el clculo infinivalente de ukasiewicz fue proporcionada por B. Scarpellini en 1962; ver la referencia en Urquhart, 1986, 99). Ello ha alejado a una parte de los estudiosos y cultivadores de esas teor1as de conjuntos del tratamiento axiomtico. Recientemente se ha puesto en pie una nueva familia de l;gicas infinivalentes (y paraconsistentes) en la cual se obtiene la extendibilidad axiomtica al clculo cuantificacional, y adems se prueba que uno al menos de los sistemas de esa  d, familia, A , es, para cada l;gica L caracterizada por m valores de verdad, una extensi;n cuasiconservativa de la misma, en el sentido de que hay en el sistema algCn functor de afir d maci;n generalizada, , tal que, para cualquier f;rmula  p ,  p  es un teorema de A sys (si,  Z y s;lo si)  p  es un teorema de L (ver Pe9a, 1991, 139 ss); como casos particulares se tiene  Z! una extensi;n del mismo resultado para la l;gica G  (el sistema infinivalente de G?del) y  d! otro incluso ms fuerte, y es que A es una extensi;n conservativa de la l;gica bivalente clsica (naturalmente, s;lo para cierta traducci;n de la negaci;n clsica). kkSi la investigaci;n de l;gicas multivalentes ha suscitado entusiasmo, no han faltado sus detractores, quienes han tendido a ver en esos clculos invenciones artificiales y sin base intuitiva , o incluso exentos de inter)s matemtico. Como qu) tautolog1as se den en un sistema multivalente y tambi)n qu) relaci;n de consecuencia haya en )l dependen de qu)  Z%( valores sean tomados como designados (o verdaderos), unos cuantos autores han concluido que se trata de algo meramente arbitrario, y por ende que todo el tratamiento ofrecido por tales l;gicas es un juego. Cae naturalmente fuera del mbito del presente trabajo discutir las motivaciones filos;ficas, pero el hecho es que )stas existen, y a favor de ellas abonan*o.,,&& muchos argumentos propuestos por diversos autores. Sobre ese y otros puntos que han de quedar fuera del presente estudio, ver Pe9a (1994). kkHoy se suele estar de acuerdo "ms all de tant1simas discrepancias en tantas cosas" al menos en esto: que el tratamiento de l;gicas llamadas multivalentes forma parte del estudio algebraico de la l;gica. En verdad hay una prueba trivial (generalizaci;n de un resultado c)lebre de Lindenbaum) a cuyo tenor cualquier sistema tiene una matriz caracter1stica multivalente: basta con tomar como lgebra una cuyo portador sea el conjunto de las f;rmulas, y cuyos elementos designados sean los teoremas. En ese sentido no hay l;gica que no sea multivalente. Ese resultado no banaliza el estudio de las l;gicas multivalentes porque, precisamente, el tratamiento algebraico permite ver qu) reducibilidades ulteriores se dan (por v1a de congruencias, noci;n que ser explicada en el 2). -  Z  ii las l;gicas multivalentes como l;gicas algebraicas 3 kkLas convenciones notacionales usadas aqu1 son, esencialmente, las de Church: un punto indica un par)ntesis de abrir cuyo correspondiente par)ntesis de cerrar estar1a tan a la derecha como quepa; las restantes ambigGedades se disipan asociando hacia la izquierda  Z^ kkPor lgebra universal cabe entender un conjunto dotado de ciertas operaciones, siendo una operaci;n una funci;n naria, para n0 (n puede ser infinito, pero aqu1 excluiremos tal posibilidad). E.d., una operaci;n naria, , definida sobre un conjunto A, es algo tal que, para cualesquiera n miembros de A, aN, a, 8, a, (aN8a)  A: lo cual significa que para aN,8,a  A hay un solo miembro de A que es (aN,8,a). Cuando se trate de una  Z' operaci;n binaria, en vez de  (aN,a)  escribimos  aNa . Generalmente un lgebra se representa como una secuencia , donde  es una secuencia de operaciones, o bien,  Z alternativamente, como una secuencia , donde N,8,j son operaciones ordenadas por su ariedad, o sea por el nCmero de sus argumentos. El conjunto A ser el  Z portador de dicha lgebra. A veces, por comodidad, se llama al lgebra igual que a su portador.  ZK kkUna matriz es un un tr1o , donde es un lgebra "siendo A, , se ZB gCn se acaba de indicar", al paso que D es un subconjunto de A, subconjunto que viene  Z5 llamado el conjunto de elementos designados. kkEl procedimiento general para establecer la correspondencia entre un clculo l;gico  Z y una matriz es )ste. Dos lgebras se llaman similares [entre s1], o de de similaridad igual,  Z! si son, respectivamente, y , y  = <1, 2, 8, n> mientras que  = < 1, 2,  Zy" 8, n> y, para cada 1ndice, i (1in) i es una operaci;n de la misma ariedad que i, o sea  Zp# son operaciones con el mismo nCmero de argumentos. Un morfismo de un lgebra  Zg$ en otra a ella similar es una funci;n  tal que, para cada 1ndice i, si i es una  Z^% operaci;n maria, entonces para cualesquiera m elementos de A, ai, 8, am, ( i(a1,8,am)) =  ZU&  i(a1,8,am). Si el morfismo m es una inyecci;n (mx=mz s;lo si x=z), ser llamado un  ZL' monomorfismo; si es una sobreyecci;n (para cada bB hay un aA tal que ma=b), ser un  ZC( epimorfismo; si es ambas cosas a la vez, un isomorfismo. Un morfismo de un lgebra en s1  Z6) misma es un endomorfismo; un endomorfismo isom;rfico es un automorfismo. kkUn clculo l;gico [sentencial] viene definido como sigue. Un lenguaje sentencial es un lgebra de 1ndole particular, a saber: una en la que el portador es un conjunto de+o.,,&& f;rmulas y las operaciones son simplemente las operaciones narias (para n0) que env1an a n f;rmulas, tomadas como argumentos, sobre la f;rmula resultante de unir a las dadas mediante un functor ndico determinado; pueden ser, p.ej., las de negaci;n, disyunci;n y  Z conyunci;n. Si es un lenguaje sentencial, es un clculo [sentencial] sys  Z 4 es una operaci;n de consecuencia en A, donde una operaci;n de consecuencia viene definida como una funci;n - que toma como argumentos subconjuntos de A y que cumple estas condiciones: 1) --X = -X F X; 2) -Z  -X s;lo si Z  X; 3) ningCn endo Z morfismo m es tal que m-X  -mX. Llamamos regla de inferencia de un clculo cuyo portador (conjunto de f;rmulas) sea A a una relaci;n R entre dos subconjuntos de A que cumpla estas tres condiciones: 1) R se mantiene para cualquier endomorfismo "o sea: si X guarda R con Z, y m es un endomorfismo, siendo m(X) = {q:yrX(mr=q)}, entonces m(X) guarda R con m(Z); 2) si 4 es la operaci;n de consecuencia definitoria del clculo C, entonces X guarda R con {z} s;lo si z  4X; 3) un conjunto X guarda con otro Z la relaci;n R s;lo si para cierto z Z={z}; a efectos prcticos podemos representar el que X  Zj guarde la relaci;n R con { q } como el que se d) esa relaci;n R entre X y la f;rmula  q .  Z[ Que  q   4X lo escribimos: Xq. Si X = { pN ,8,Ó p }, podemos expresar lo mismo as1:  ZR pN,8,p  q. Decimos que una operaci;n % es la extensi;n ancestral de una familia de re ZI laciones {Ri}iI sys %X es el menor superconjunto de X cerrado con respecto a cada relaci;n  Z@ Ri. Una operaci;n de consecuencia 4 ser llamada regular sys hay un nCmero finito de  Z7 reglas de inferencia, R1,8,Rm, tales que 4 es la extensi;n ancestral de {R1,8,Rm}. En tal caso  Z. diremos que 4 es la operaci;n de consecuencia engendrada por R1,8Rn. S;lo nos interesaremos aqu1 por operaciones de consecuencia regulares, lo cual nos permitir, de hecho, pensar, ms que en la operaci;n en s1, en las reglas de inferencia que la engendran.  Z} kkAquellos elementos del portador de un clculo con los cuales el subconjunto vac1o  Zp de f;rmulas, P, guarde alguna regla de inferencia de ese clculo son sus axiomas. Los teo Zc remas de ese clculo son los miembros del menor superconjunto del conjunto de sus axiomas cerrado para la operaci;n de consecuencia 4. A un clculo sentencial lo lla ZM maremos tambi)n una l;gica. (N;tese que est lejos de ser balad1 la estipulaci;n de este prrafo "aparentemente s;lo definicional": de hecho el concebir as1 a los axiomas equivale a adoptar automticamente la concepci;n clsica de la operaci;n de consecuencia, a tenor de la cual, para cualquier conjunto de f;rmulas X y cualquier teorema del clculo sentencial  Z considerado,  p , se tendr que  p 4X "donde 4 es la operaci;n de consecuencia definitoria de ese clculo sentencial).  Zq kkLlamaremos valuaciones a los morfismos de un clculo en una matriz, y sustituciones  Zd! a los endomorfismos de un clculo. Para que haya una valuaci;n de un clculo dado, C, en  dW" una matriz dada, M , a cada functor ndico, , de C le habr de corresponder una operaci;n  dX# naria, , en M tal que, para cualquier valuaci;n v del lenguaje en el que se formule C en  dY$  M y cualesquiera f;rmulas  pN , 8,  p  del lenguaje de dicho clculo, se tendr: v(  (pN,8 ZZ% ,p) ) = (v( pN ),8,Óv( p )). Por comodidad "y no prestndose ello a ningCn equ1voco"  dQ& cabe escribir igual el signo ` ' de C y el que nombra a la operaci;n  de M .  d' kkDiremos que una matriz A = es un modelo de un clculo C =  d( < C ,{1,8,m},4> sys cada valuaci;n de C en A , v, es tal que "definiendo v(X) como  d) {z:yu(vu=z)}, para un X E C"  p   T [siendo T el conjunto de teoremas de C ] s;lo si  Z* v( p )  D. Llamaremos a un modelo recio si cumple esta condici;n adicional: cada  Z+ valuaci;n v y cada f;rmula  p  son tales que v( p )  D si v(X) E D y  p   4X. Para que+o.,,&& una matriz sea un modelo de un clculo basta con que las valuaciones les den a los teoremas, como imgenes suyas, elementos designados; para que sea recio es, adems, menester  Z que la operaci;n de consecuencia del clculo sea volcada por cada valuaci;n en una relaci;n, dentro de la matriz dada como modelo, que preserve el estatuto de designaci;n. En adelante tan s;lo nos interesarn los modelos recios, por lo cual omitiremos el adjetivo. (Un modelo puede no ser caracter1stico "esta noci;n se va a definir unas pocas l1neas ms  Z abajo"; y lo propio le sucede a una clase entera de modelos. Mas cuando se define un clculo con relaci;n a un modelo o clase de modelos, )ste o )stos son entonces, por definici;n, caracter1sticos.)  d kkEn general un clculo C del lenguaje i puede venir [semnticamente] caracterizado  d (definido) con relaci;n a una clase M de matrices as1: la operaci;n [regular] de consecuencia  d 4 vendr definida as1: zA M , dado un conjunto de f;rmulas cualquiera, XEi, 4X =  Z {xi:zh Val (i,A):hxDĠo h(X)D}, donde Val (i,A) es el conjunto de valuaciones de  d i en A. (Como caso particular, los teoremas de C sern las f;rmulas  p  de su lenguaje, i,  d que sean vlidas respecto a M , o sea tales que zA M zv Val (i,A) ocurra que v( p )D,  Z siendo D el conjunto de elementos designados de A.) Para una 4 definida semnticamente  d con respecto a la clase M de matrices, el que  p 4X viene expresado as1: X& M p.  dW kkCuando se cumplen las condiciones reci)n indicadas, decimos que esa clase M de  ZR matrices es caracter1stica del clculo en cuesti;n. Pero tambi)n es caracter1stica de un  ZE clculo una clase de matrices, aunque el clculo no venga definido as1, siempre que pueda  Z8 serlo (o sea siempre que otra definici;n tenga la misma extensi;n). Cuando una cierta clase unitaria de matrices sea caracter1stica de un clculo sentencial dado, se dir que la Cnica  Z matriz perteneciente a esa clase unitaria es caracter1stica de dicho clculo. Si el portador de la matriz tiene exactamente n miembros se llama nvalente a dicho clculo. (Dicho de  Z otro modo: la matriz M es caracter1stica del clculo C sys se cumple en general esta  Z condici;n: X&{M}p sys  p 4X, donde 4 sea la operaci;n de consecuencia definitoria de  Z C.) kkDe hecho no cualquier lgebra ofrece inter)s como modelo para los prop;sitos reci)n  ZD indicados. Prcticamente se consideran pertinentes aquellas lgebras que son ret1culos, o sea lgebras donde para cualesquiera x, z, u  A se tienen estas ecuaciones:  Z kkidempotencia: x+x = x = xx;conmutatividad: x+z = z+x; xz =zx  Z kkasociatividad: x+z+u = x+(z+u); xzu = x(zu);  Zv! kkabsorci;n: x+zx = x = xz+x kkEs ms, para nuestros prop;sitos, s;lo se aceptan como modelos ret1culos distributivos, o sea que cumplan la condici;n de distributividad, a saber: x+(uz) = (x+u)(x+z) as1  Z$ como x(u+z) = (xu)+(x+z). La operaci;n + es llamada la junci;n y corresponder a la  Z% disyunci;n, mientras que  viene llamado el cruce y corresponde a la conyunci;n. En un ret1culo el que x=xz se expresa as1 tambi)n: xz. kkSi la correspondencia entre esos signos l;gicos y esas operaciones algebraicas suele sustraerse a la controversia, no sucede lo propio con respecto a la negaci;n. Es bastante comCn, sin embargo, el postular que )sta coresponda a una operaci;n algebraica unaria, ~, tal  Z* que se cumplan tres ecuaciones adicionales: De Morgan (o sea ~(xz) = ~x+~z, as1 como*o.,,&&  Z ~(x+z) = ~x~z) e involutividad: ~(~x) = x. No obstante, para algunos clculos, como veremos, se atenCan estas dos condiciones o se reemplazan por otras menos estrictas. kkUn lgebra con las operaciones , + y ~ que cumplan esas condiciones ser llamada  ZK un lgebra de De Morgan. Supongamos ahora un lgebra de De Morgan que reCna esta condici;n adicional: hay en ella dos elementos, 1 y 0, tales que, en general, x1 = x mientras  Z/ que x0 = 0, ~0 = 1; un lgebra tal ser un lgebra cuasibooleana. De entre las lgebras  Z" cuasibooleanas se llaman lgebras de Kleene a las que cumplen en general esta condici;n: z+~z  x~x.  Z kkUn ret1culo distributivo con 0 y 1 se llama pseudocomplementado si en )l se da una operaci;n unaria, , tal que para cada x se tiene que x es el mayor elemento disjunto de x (o sea uno tal que para cualquier z zx = 0 sys xz). Un ret1culo pseudocomplementado es un lgebra de Stone sys cumple esta condici;n: para todo x, x+x = 1. (En un ret1culo pseudocomplementado "om1tense aqu1 las pruebas" valen estas ecuaciones: xx = xx; xx; xz>0 sys xz>0; x>z s;lo si z>x; (x+z) = xz; xz = (xz); (x+z) = (x+z); (x+x) = 0.)  Z kkUn lgebra de Kleene es un lgebra booleana si cumple esta condici;n: x~x = 0 y x+~x = 1. Tambi)n cabe definir a las lgebras booleanas como ret1culos pseudocomplementados en los que para cada x: x+x = 1; y como lgebras de Stone en las cuales x=x  Z  kkPara nuestro prop;sito requeriremos que D "el conjunto de elementos designados"  Z sea un filtro propio, o sea un subconjunto propio del portador del lgebra tal que, en gene Z ral, se cumplan estas dos condiciones: 1) si xz = x, siendo x  D, entonces z  D; y 2)  Z si x, z  D, xz  D.  dV kkSea B la clase de todas las matrices booleanas. Demu)strase este resultado: sea C un clculo semnticamente definido como uno que tenga por axiomas a las f;rmulas de cierto  dD lenguaje (con conyunci;n, disyunci;n y negaci;n) vlidas en cualquier matriz de B y cuya  Z? operaci;n de consecuencia semnticamente definida (del modo ms arriba indicado) sea & M ;  d0 ese clculo es id)ntico a otro definido igual pero en el cual, en vez de M , se tome el lgebra  Z+ con s;lo dos elementos, 0 y 1, siendo D={1}. El clculo caracterizado por las lgebras  Z booleanas es LC (la l;gica clsica). Por ello precisamente se da en llamar a LC la l;gica  Z bivalente. kkUna l;gica multivalente ser un clculo sentencial semnticamente definido cuyos modelos sean ciertas matrices no booleanas (aunque esto ha de entenderse, en general, como  Zd! que no todas las matrices de la clase en cuesti;n sern booleanas). Un ejemplo ser Kà , a saber: el clculo sentencial en el que son teoremticas s;lo todas las f;rmulas vlidas res ZH# pecto a cualquier matriz de Kleene, donde una matriz de Kleene viene definida como un lgebra de Kleene con un conjunto cualquiera de elementos designados que sea un filtro propio y cuyas reglas de inferencia sean las preservadoras de la designaci;n en esa clase de lgebras.  Z' kkPasemos ahora de Kà  a otras l;gicas construibles como extensiones de Kà . En primer lugar, puede extenderse el cCmulo de reglas de inferencia del siguiente modo. Formamos  Zh) el sistema Kà3, a saber la l;gica semnticamente definida como teniendo sus modelos en una  d[* clase unitaria de matrices, {K}, donde K = < R , {1}, > siendo R = [0,1] (o sea el intervalo  Z\+ de los nCmeros reales r tales que 1r0), y siendo  = {+,,~}, donde xz = min(x,z),\+o.,,&&  Z mientras que x+z = max (x,z) (el signo `+' no hace aqu1 las veces de la adici;n); la operaci;n unaria ~ viene definida as1: ~1=0; ~0=1; para 1>x>0 el logaritmo en base 2 de ~x es igual al logaritmo en base x de 2. Como signos del clculo l;gico usemos `N' en vez  Z de `~', `V' en vez de `+', y `U' en vez de `'. Son teoremas de Kà3 los mismos que de Kà ,  Z pero en Kà  no estn ciertas reglas de inferencia que s1 estn en cambio en Kà3, como )sta  Z (la regla de Cornubia, [mal]llamada de Escoto): p, Np & q. Tomemos ahora, en vez de K,  d A, definida como < R , D, >, con  igual y D = ]0,1], o sea el conjunto de reales r tales que  Z 1r>0. Al clculo sentencial semnticamente definido como tomando sus modelos en {A}  d lo llamamos l;gica A 3. Hay una serie de esquemas que son teoremticos en A 3 sin serlo en  Z Kà , como )stos:  N(pUNp) ,  pVNp  "respectivamente no contradicci;n y tercio excluso. Por  Z otra parte, la regla de Cornubia no est en el nuevo sistema; )ste es, pues, una l;gica para Z consistente.  Z kkQu) pasa si, en vez de [0,1], tomamos {0,,1}, siendo D = {,1}? Es obvio, por  d la definici;n dada, que N=. Llamemos A 3 a la l;gica semnticamente caracterizada con respecto a la clase unitaria cuyo Cnico miembro es esta matriz de tres elementos. Salta a la  d vista que A 3 = A 3. Es ms, cabe demostrar que se trata de la l;gica semnticamente definible con respecto a la clase de matrices que son lgebras de Kleene en las cuales para todo  Z x x+~x  D. kkUn problema que surge con las l;gicas multivalentes hasta aqu1 consideradas es que no tenemos en ellas ningCn functor que exprese una relaci;n condicional o de implicaci;n.  Z Ese problema no surge en LC , porque en ella podemos definir  pDq  como  ~pVq , y similarmente con las operaciones booleanas correspondientes, obteni)ndose los dos rasgos apetecibles para un condicional, a saber: (r1) el functor `D' as1 definido preserva la  Z designaci;n, e.d. posee la condici;n del modus ponens (para cualquier valuaci;n v, si  Z v( pDq ) y v( p ) son designados, tambi)n lo es v( q ); y (r2) tiene la propiedad de la deducci;n: si pN, 8, p,r & q, entonces pN,8,p & rDq. kkHay dos procedimientos comunes para introducir functores condicionales en l;gicas multivalentes. Uno consiste en introducirlos como primitivos. El otro estriba en introducir primero una negaci;n fuerte, y luego definir, por medio de ella, el condicional, igual que  Z se hace en LC . Voy a centrarme aqu1 en este segundo procedimiento.  Z kkSi <A,> es un lgebra de Stone, <A,D,> ser una matriz de Cragg, donde D es  Z el conjunto de miembros densos de A, o sea de aquellos elementos x tales que x=0. Una operaci;n que nos sirve entonces para definir el condicional es la que define xDz como xVz.  Z" kkLlamemos l;gica p)trea al clculo sentencial cuyo vocabulario abarca signos sentenciales y las constantes de conyunci;n (`U'), disyunci;n (`V'), y negaci;n fuerte (`), cuyos teoremas son las f;rmulas vlidas en cualquier matriz de Cragg y cuya Cnica regla de  Z% inferencia es el modus ponens (pVq, q  p). Definiendo en una l;gica p)trea el condicional  Z& del modo clsico ( pDq  abrevia a  pVq ), ese functor posee los dos deseados rasgos ya  Z' enumerados, (r1) y (r2). Es ms: la l;gica p)trea es id)ntica a LC , a pesar de la diversa definici;n semntica de ambas. Un ejemplo de matriz de Cragg es j, a saber: la que tiene  Z) como portador el intervalo [0,1], siendo  y + como vinieron definidos para Kà3, y siendo  Z* x = 0 si x>0, 0=1. Aunque esta lgebra no es booleana, es tambi)n un modelo de LC : una f;rmula es un teorema del clculo sentencial clsico sys es vlida con respecto a la+ o.,,&& matriz j. Como se ve, faltan a j para ser booleana dos condiciones: en general no se tiene x = x; ni x+x = 1. kkEl v1nculo entre j y un lgebra de Boole puede hacerse ms claro como sigue. Lla Z[ mamos congruencia en un lgebra a una relaci;n [didica]  que tenga, para toda operaci;n  ZR naria, , la propiedad de sustituci;n, a saber: si xNzN, 8, xz, entonces (xN,8x)  (zN,8,z). Una congruencia es una relaci;n de equivalencia. Si  es una congruencia de  Z@ un lgebra A cuyo portador es J, podemos obtener el lgebra cociente de A por , a saber  Z7 una cuyo portador es el conjunto de las clases de equivalencia [x] (o [x] a secas, si el contexto desambigCa), siendo x un elemento cualquiera de J y teni)ndose que en general z  [x] sys xz. En el lgebra j hay una congruencia  tal que xz si x>0 una matriz de Cragg, y para los mismos M y D sea < M ,D,,>  Zf una matriz de Kleene. Sea  = B,. Entonces < M ,D,> ser una matriz . Las matrices  d] son los modelos que caracterizan a la l;gica A . O sea, A  es aquel clculo sentencial cuyos teoremas son las f;rmulas, de un lenguaje sentencial dado, que vienen enviadas por cualquier valuaci;n sobre elementos designados de una matriz, y cuyas reglas de in d@ ferencia son las que preservan la designaci;n. (Por ser M una matriz de Cragg, D ser el conjunto de todos los elementos densos.) N;tese que en una matriz ya no puede  Z4 establecerse una congruencia como la considerada en el prrafo anterior. Sea  la matriz cuyo portador es [0,1]. Aunque en esta matriz 1, no sucede empero que N1  N, puesto que N1=0, N=, y sin embargo no ocurre que 0 (hay infinidad de elementos z congruentes con 1 y tales que Nz no es congruente con N1; el caso del elemento  se aduce  d  s;lo por ser un caso extremo ). La l;gica A  es una l;gica paraconsistente (con respecto a la negaci;n simple `N') y tambi)n multivalente; no es paraconsistente con respecto a la  d negaci;n fuerte, . En la l;gica A  se tiene la regla de inferencia: p, p & q; pero no: p, Np & q. Sin embargo, los principios de no contradicci;n y de tercio excluso son vlidos para  Z ambas negaciones: son teoremticos todos los esquemas:  pVNp ,  pVp ,  N(pUNp) ,  Z  (pUp) . Definiendo  pq  como  pDqU.qDp , se tendr  pp , versi;n atenuada de  d la involutividad. (Tambi)n se tiene, claro  pNNp .) Asimismo valen en la l;gica A  los  Z cuatro principios condicionales de abducci;n, a saber:  pDNpDNp ,  pDpDp ,  NpDpDp ,  d  pDpDp . Aun siendo paraconsistente, A  es una l;gica de talante muy conservador: su negaci;n simple posee la mayor parte de los rasgos de la negaci;n clsica, al paso que, gra d! cias a su negaci;n fuerte, A  es una extensi;n conservativa recia de LC , en el sentido  d" t)cnico usual (una f;rmula de A  que s;lo contenga vocabulario clsico es teoremtica en  d#  A  sys tambi)n lo es en LC ; y cada regla de inferencia clsica vale tambi)n en A ).  d;% kkDemostrablemente la l;gica A  se caracteriza por la clase unitaria que s;lo abarca a una matriz con tres elementos, dos de ellos designados.  d' kk(sa es una raz;n para no estar satisfechos con A . El fondo del problema estriba en  d( que no podemos con el limitad1simo vocabulario de A  expresar ninguna relaci;n ms estrecha entre dos enunciados consistente en que uno de ellos sea ms verdadero que el otro. Vamos ahora a partir de una matriz y vamos a a9adir una operaci;n binaria, I, como sigue. En primer lugar s;lo tomamos matrices que tengan un elemento  tal que =N.{+ o.,,&& La operaci;n I ser tal que: xIz =  sys x=z; en caso contrario, xIz = 0. A una matriz as1 la llamaremos una I-matriz. (Podr1amos generalizar ese tratamiento, exigiendo, en vez de  Z igualdad, una congruencia plenamente invariante, o sea una que venga preservada por todos los endomorfismos.) El rasgo importante que a9aden las Ilgebras y matrices es poder expresar la mismidad de grado de verdad. La l;gica semnticamente definida como aquella  d cuyos modelos son Imatrices ser la l;gica A  I . A diferencia de la l;gica A , A  I no es ni trivalente ni siquiera finivalente. Con respecto a una Ilgebra de n valores (n finito) se  d tendr un esquema teoremtico que no lo sea en A  I ; p.ej. en una l;gica definida respecto  Z a la clase unitaria de Imatrices cuyo portador es {0,,1} se tendr (definiendo  pq   Z como  pUqIp ):  p(qUNq)VqVNqVNp ; y en general, para n valores se tendr que,  Z dadas n letras sentenciales,  pN , 8,  p , y definiendo  p\q  como  pqU(qp) , ser  Z teoremtica la f;rmula:  pN\pU(p\p)U8(p-N\p)D.NpUpN . (Dicho en plata: para cualquier cadena de n enunciados cada uno de los cuales sea ms verdadero que los que lo precedan, el primero ser totalmente falso y el Cltimo totalmente verdadero; ello excluye la utilizaci;n de l;gicas finivalentes para el tratamiento l;gico de los comparativos, segCn vino propuesto en Pe9a, 1987.) Igualmente, cada l;gica finivalente contendr como esquema teoremtico una de las llamadas `f;rmulas de Dugundji': para n variables sentenciales, pN, p,  ZG 8, p, la f;rmula de Dugundji correspondiente es:  pNIpV.pNIpV.8V.pNIpV.8V.péNIp . La f;rmula de Dugundji en n variables sentenciales dice que hay un mximo de n1 valores  Z/ veritativos o grados de verdad. (La LC viene caracterizada por la f;rmula de Dugundji en  Z* 3 variables:  pIqV.pIrV.qIr .) NingCn esquema as1 es teoremtico en la l;gica infinivalente  d!  A  I . kkLa raz;n por la cual hemos tomado uniformemente xIz =  cuando x=z es la de  Z poder as1 tener como teoremticos todos los esquemas siguientes:  pIq.pUrI.qUr ;  Zz  pqUpq ;  pIq.rIqI.rIp ;  pIq.pVrI.qVr ;  pIp.qIq ;  p(pq).pq ;  Zq  pNpNp ;  Nppp ;  pq.NqNp ;  pqN(pUNq) ;  pq.pNqNp ;  Zh  p(qUNq)Np ;  pq.pr.p.qUr ;  p(qr).pq.pr ;  pq.rp. Z_ rq ;  pq.qr.pr ;  N(pp).pp ;  N(ppN(pp)).pp ;  pqr ZV (pq).pq ;  pqr.qprr ;  pq(qp).qp ;  pqV.qp ; evitando,  ZM en cambio, la teorematicidad de los esquemas:  p.qp  ;  pUNqr.pUNrq ;  ZD  p(qr).q.pr ;  p.pqq ;  p(q.pr).qr ;  p.pp ;  pq. Z; p.pq ;  pq.q.pq ;  pUqr.p.qr ; ninguno de los cuales es compatible  Z2 con la idea de que  pIq  sea una f;rmula verdadera sys es tan verdadero que p como lo sea que q. (Es ms: cada uno de esos esquemas no teoremticos es tal que, escribiendo, para  Z! hacer las veces de su respectiva pr;tasis implicacional,  p , y, para hacer las veces de su  Z" ap;dosis,  q , no se cumple la condici;n: p&q.) Los functores `I' y `' son interdefinibles:  Z" si `' es primitivo,  pIq  es definible como  pqU.qp . De paso pru)banse otros esquemas caracter1sticos de otros sistemas l;gicos, como el conexivismo: el llamado principio de  Z$ Boecio ( pqN(pNq) ) y el de Arist;teles ( N(pNp) ). Y finalmente estos dos:  Z%  pNpI.pN(pIp)  y el principio de Herclito:  N(pIp) .  dH' kkLa l;gica A  I no es s;lo paraconsistente sino contradictorial, ya que hay un cierto  ZC( esquema tal que contiene como teoremas ese esquema y su negaci;n simple:  pIp  y  Z4)  N(pIp) . Tambi)n tenemos:  pIpIN(pIp) . kkHay una raz;n importante para no estar todav1a satisfechos con el resultado, y es que, si bien la l;gica que hemos obtenido es genuinamente infinivalente (no es caracterizable por+ o.,,&& ninguna clase unitaria de matrices con un nCmero finito de elementos), su vocabulario l;gico es tan pobre que no podemos en ella expresar ms que tres matices veritativos: o decir que  Z  p , o que  Np  o que  pUNp . De  pUNp  y  Nq  podemos deducir  p\q , pero nunca  Z  p\Np  ni  Np\p  ni  pINp . En general esta l;gica no nos sirve como l;gica de lo difuso porque no podemos establecer ninguna relaci;n inferencial entre los matices de los asertos y la mayor o menor verdad de unos u otros. La l;gica en cuesti;n no contiene ningCn vocablo que exprese algo as1 como `ms bien', `bastante', `un tanto', `muy', etc., ni, por lo tanto, teorema alguno que diga que, en la medida [al menos] en que algo sea muy  Z verdadero, es verdadero [a secas]. (Eso de  en la medida [al menos] en que p, q  ser  Z nuestra lectura de  pq .) kkNo es )se el Cnico motivo, como vamos a ver, para dar un paso ms, introduciendo un nuevo functor primitivo. Otra raz;n es que hay ocurrencias de la conyunci;n `y', o quiz ms bien de otras conyunciones copulativas que no son semnticamente reducibles a ella, que no vienen adecuadamente capturadas por `U'. P.ej. hay un `y' de insistencia "quiz mejor representado por la part1cula discontinua `no s;lo 8 sino [que] tambi)n'" en la cual parece que los conyuntos interactCan en el sentido de que el grado de falsedad resultante podr ser mayor que los grados de falsedad de sendos conyuntos. As1, supongamos que una  Z cierta oraci;n,  p , es verdadera en un 33% aproximadamente, mientras que  r  lo es en un  Zz 66%: segCn el tratamiento hasta aqu1 propuesto  p y r  ser tan verdadera como  p , ni ms ni menos; y lo propio suceder para cualquier conyunci;n copulativa en vez de `y'. Sin  Z\ embargo cabe sospechar que al decirse  p y r  (o  no s;lo p, sino que adems r ), se est  ZO diciendo algo menos verdadero que al decirse simplemente  p : porque  r  dista de ser del todo verdad, el aserto copulativo en cuesti;n ha de a9adir algo ms de falsedad al grado de  Z1 falsedad que ya ten1a  p . Representemos esa conyunci;n copulativa ms fuerte como `':  Z" aseverando  pNpp8p , donde para cada in  pi  tiene un valor de verdad infinitamente inferior al mximo, se estar haciendo un aserto cuyo grado de falsedad ser,  Z  c%teris paribus, tanto mayor cuantos ms conyuntos haya (y no s;lo cuanto menos ver Z daderos sean). La introducci;n de esa superconyunci;n nos va a permitir obtener, como definidos, muchos functores de matiz al)tico. kkOtra raz;n ms por la cual es conveniente a9adir una conectiva que nos permita definir infinitos functores mondicos de matiz al)tico es )sta. El functor condicional `D' cumple los dos requisitos enumerados ms arriba (r1) y (r2) para los condicionales, de suerte que podemos justificar la presencia de ese functor definido por su conexi;n con la deducci;n. En cambio nada similar justifica la presencia del functor implicativo `': entendiendo la operaci;n de consecuencia del modo clsico "que es el que ha venido adoptado en este trabajo (recu)rdese la observaci;n parent)tica del final del prrafo sexto de este mismo 2)", no hay ningCn nexo de inferencia entre {pN,8,p} y {r} suficiente para que  Z# sea teoremtica la f;rmula  pNU8Upr . Dicho con otras palabras: el menor superconjunto de {pN,8,p} cerrado con respecto a todas las reglas de inferencia de las l;gicas que  Z% estamos examinando puede abarcar a  r  sin que por ello abarque a  pNU8Upr . (El fundamento de ese desempate entre la inferibilidad y el functor implicativo `' estriba en que  Z' el sentido de  pq  es que  q  sea a lo sumo tan falso como lo sea  p , al paso que  q  se  Z( infiere de {pN,8,p} sys o bien uno [al menos] de entre  pN ,8, p  es del todo falso, o bien  Z)  q  es [en uno u otro grado] verdadero.) Esa falla puede corregirse con ayuda de la superconyunci;n y de los functores de matiz veritativo que mediante ella nos ser dado introducir.+ o.,,&&ԌkkEn el intervalo [0,1] podemos tomar xz como el producto multiplicativo x'z. Esta operaci;n tiene los rasgos siguientes: conmutatividad, asociatividad, elemento neutro (el elemento mximo del lgebra en cuesti;n); adems,  es distributiva con respecto a las operaciones V y U: x(zUu) = xzU(xu); x(zVu) = xzV(xu). (Eso significa que  es una operaci;n is;tona, o sea que, si xz, entonces xu  zu.) Con respecto a N,  tiene una  Z caracter1stica especialmente importante, definiendo en general  Ky  como  N(NyNy) : si x = zz, Kx = z; ms en general: si xx = z, uu = v, entonces K(zv) = xu. Otra  Z caracter1stica de  es el principio de cancelaci;n: xz < xu sys u>z. kkAunque hemos tomado como ejemplo un caso muy particular (esa matriz cuyo portador sea [0,1] y cuyo cCmulo de valores designados sea el filtro de elementos densos ]0,1]), cabe se9alar que hay muchas que son isom;rficas con )sa. Pueden tomarse como ejemplos:  d primero el lgebra que llamaremos A , a saber: una cuyo portador sea  = [",+] donde  Z U sea la operaci;n max, V sea min, N sea ", x= si x/, y ="; y  ser as1:  Z x==x; "x=x=x"; si - x y no hay ningCn elemen Z to u tal que z > u > x. Un ret1culo ser llamado at;mico sys para cada par de intervalos contiguos [a,b] y ]b,c] (o sea cada par de subconjuntos {v:avb} y {v:b e. Mas eso no es posible, porque entonces habr s;lo un nCmero finito de elementos entre e y G, y entonces el propio e ser1a compacto (y por ende ser1a {e}). Q.E.D.  Z* kkSuele llamarse noetherio a un ret1culo que no contenga ninguna serie infinita de ele ZN mentos, aN, 8, a, a+N, 8, tales que 8 > a > a-N > 8 > a > aN. (Por el axioma de elecci;n se prueba que tal condici;n equivale a que todo subconjunto no vac1o del portador del ret1culo tenga un elemento minimal.) Pru)base con facilidad que todo ret1culo noetherio es algebraico. De ah1 que se hayan buscado como modelos para la mayor parte de las l;gicas multivalentes ret1culos noetherios, y por lo tanto que sean o finitos o productos de ret1culos finitos. Y es que, para su aplicaci;n a los cuantificadores, la caracter1stica de que  Z sea algebraico el ret1culo de los valores de verdad parece ms que un mero desideratum. Adems de la raz;n ya considerada (y decisiva), referida a la regla de generalizaci;n universal, existe otra, y es que hay un teorema del lgebra universal que reza as1: todo  Zz ret1culo algebraico es continuo, entendiendo por tal uno con esta condici;n: para cada elemento b y cada cadena C, bVC = {bVz:zC}. Para el tratamiento de los cuantificadores  Z esa condici;n de continuidad significa la aplicabilidad de lo que se llama ley de paso: si  p   Z no contiene ninguna ocurrencia libre de la variable `x',  pVzxqIzx(pVq)  es teoremtico; esa condici;n y la dual respectiva permiten aplicar procedimientos de prenexaci;n, desprenexaci;n, conversi;n a forma normal, etc. kk4 Ya hemos visto empero los inconvenientes de la finitud. Es arbitrario postular que se tengan que dar exactamente n grados de verdad en vez de n+1. No hay nCmeros finitos l;gicamente privilegiados. Afortunadamente hay c;mo obtener que un ret1culo sea fuertemente algebraico (y por lo tanto at;mico y continuo, en sendos sentidos ms arriba apuntados) sin incurrir en la finitud. Es lo que voy a exponer a continuaci;n.  dQ kkPartimos del lgebra A , segCn vino definida ms arriba (usando aqu1 los signos `' y `<' para referirnos al orden num)rico, inverso del algebraico), pero ensanchando su portador a un conjunto S = B{: r & r>"}B{: r & r<}, donde a, b son entes cualesquiera. Postulamos: < r < . Y definimos (dejando correr a las variables `r', `rN', `r' sobre miembros de  [incluidos  y "]): kk = si rN/;<,a>x = <,a> si x/; kkr =  = si r/;x=; kkr =  = si r/;"x=x; kky siempre xz = zx (lo cual termina de definir recursivamente la operaci;n). Las  dU( definiciones de las operaciones V, U,  son las mismas que en A ; la operaci;n N viene ex dc) tendida as1: N = y N = . A esta lgebra la llamaremos A 3; al elemento <",b> lo llamaremos 3; a <,a> llamar)moslo .p*o.,,&&ԌkkEn esta lgebra, el filtro de los elementos designados es {x:x}, donde `' es el  Z  orden algebraico (inverso al num)rico). Podemos tambi)n introducir el ideal de los elementos antidesignados (un ideal es un conjunto C tal que, si xz, zC entra9a xC, y xVz  C s;lo si o bien xC o bien zC); ser tal ideal {x:x3}. Todos esos signos encuentran lecturas naturales en la lengua verncula: `' : `No8en absoluto'; `N': `no'; `V': `o'; `U': `y'; `': `no s;lo8 sino que tambi)n'; `D': `s;lo si'; `': `s;lo en la medida en que' o `s;lo en tanto en cuanto'; `I': `en la misma medida en que'; " es lo totalmente verdadero;  la falsedad completa;  la verdad infinitesimal; 3 el grado infinitesimal de falsedad (que es un grado infinito, aunque no total, de verdad).  d kkTomemos un lenguaje cuyas valuaciones tomarn sus valores en A 3. Definiendo  np   Z como  p3  y  mp  como  NnNp , la primera f;rmula cabe leer como Es supercierto que  Z p , o algo as1, y la segunda como viene a ser cierto que p . Definiendo  Pp  como  Z Ԛ (Npp)Up  (que cabe leer como Es ms bien cierto que p : `P' por `potius'), sern  Z vlidos los esquemas  PpVPNp ,  pq.PpPq . Valdrn las inferencias p(&p,  Z Np(&p3, p(&p.qUq y p(&p\. Definiendo  Yp  como  pIUp , cabe leerlo como Es infinitesimalmente verdad que p , y se tiene: Yp(&pU(\p).  d" kkEn A 3 no vale ya el principio de cancelaci;n que val1a en A , salvo con una modificaci;n, a saber: si xz uz, entonces o bien z  (el cero algebraico), o bien x u, donde ` ' expresa una diferencia a lo sumo infinitesimal de grado (o sea:  r  , pero en ningCn otro caso x  z).  no es una congruencia. Pero cabe generalizar la noci;n de  Z2 congruencia as1: para el conjunto de operaciones { i} (iI) se tendr que una relaci;n de  Z5 equivalencia, , es una { i}(iI)ĩcongruencia sys tiene la propiedad de sustituci;n para cada  Z8  i (iI). Pues bien,  es una {U,V,N,,m}congruencia. (No tiene la propiedad de sustituci;n ni para I ni para .) kkEn la semntica aqu1 esbozada p(&q no ser una congruencia en el clculo semnticamente definido (de p(&q no se sigue Np(&Nq, ni Yp(&Yq ni Pp(&Pq, etc.). Mas s1 ser  Z una {U,V,,}congruencia. En verdad se trata de la relaci;n de equivalencia entre  p  y  q  sys & pIq, la cual corresponde  a su vez a la congruencia de Glivenko para un  Z lgebra de Stone, a saber: xGz sys x=z. El fragmento de este clculo que tiene como  Z constantes l;gicas `U', `V' y `' es exactamente LC . (El clculo, como se indic; en el 1, es adems una extensi;n cuasiconservativa de cada l;gica finivalente.) kkPodemos a9adir a las operaciones de esta lgebra un conjunto infinito de operaciones  Z:" unarias s, sS"{}, donde se tendr: sx=x si s=x; y, si no, sx=. Entonces tendremos  Z=# en el clculo semnticamente definido con relaci;n a esta lgebra sendos functores s;   sp   Z@$ dice que es verdad que p en grado s. Resultado: sys sp(& sq para todo s, &pIq. Y, ms en  ZC% general, sys para todo s X& sp sys X& sq, X & pIq. Trtase, naturalmente, de secuentes infinitarios. kkYa hablamos ms arriba de la relaci;n entre las l;gicas multivalentes y las relevantes. Precisamente una l;gica que admite una bonita definici;n semntica como l;gica infi Z) nivalente es el sistema (de la familia relevante) RM . (Cuando se trata de sistemas relevantes, es a menudo dif1cil saber qui)n es el originador de uno de ellos en particular; mas  Z+ lo que es seguro es que quien ms se ha destacado en el estudio de RM es Robert K.+o.,,&& Meyer; v. su secci;n sobre ese sistema, 29.3, de Anderson y Belnap, 1975, 393 ss.) He  d aqu1 la matriz caracter1stica de dicho sistema: < I , D , N, U, V, >, donde I es el conjunto  d  de los enteros; D es el conjunto de los enteros no positivos; iUj = max(i,j); iVj = min(i,j); Ni = "i; y ji =: NjVi si ji, y NjUi si j N > ". Todos los elementos son designados salvo . Cualquier  Z valuaci;n, v ser tal que v(Hp) = " si v(p) = ", y, si no, v(p) = . v()= (para  Z cualquier v). Todo eso es como el lector ya lo esperaba, a estas alturas. kkQuedan todav1a por resolver much1simos problemas con respecto al g)nero de l;gicas infinivalentes cuyo estudio viene posibilitado por las lgebras del tipo reci)n considerado.  dz P.ej.: cul es la axiomtica ms simple y elegante para el lgebra A 3 y las a ella isom;rficas? Una vez dados ciertos postulados que recojan las propiedades l;gicamente interesantes de esas lgebras (y se han propuesto varios conjuntos de tales postulados, recogidos en las obras ya citadas, que figuran en la bibliograf1a), cul es la menor lgebra "que no sea simplemente un lgebra de Lindenbaum o de Tarski" que los satisfaga todos  du (y que, por lo tanto, sea un retracto de A 3, donde un lgebra A es un retracto de otra B sys hay un automorfismo id)ntico de A [uno, m, tal que mx=x siempre] que es la composici;n o producto relativo de un monomorfismo de A en B con un epimorfismo de B en A)? -  Zm /"iii conclusiones 3 kkEstn aCn por investigar las cuestiones con que ha finalizado el  precedente "as1 como muchas otras", pero lo que ya parece probado es que ese g)nero de tratamiento abre perspectivas que incrementan la aplicabilidad y el grado de motivaci;n filos;fica de las l;gicas multivalentes. De hecho, ese manido aserto de que las l;gicas multivalentes son meros juegos matemticos ha sido siempre desacertado (ya ukasiewicz puso en pie su sistema movido por una idea filos;fica, equivocada o no, que es el rechazo del determinismo), pero nunca ha sido tan falso como con relaci;n a las l;gicas algebraicas infinivalentes que acabamos de esbozar. kkLa idea de que hay s;lo dos valores de verdad es tan respetable como cualquier otra tesis metaf1sica, a9eja o no, pero frente a ella abonan razones de peso que no cabe dejar de escuchar atentamente; algunas de esas razones llevaron a una parte de la tradici;n filos;fica "aunque minoritaria" a la afirmaci;n de grados de realidad y de verdad; otras de tales razones tienen que ver con problemas epistemol;gicos debatidos actualmente; y muchas de ellas guardan conexi;n con aplicaciones de la l;gica a diversos campos del saber y de la investigaci;n. kkTeniendo en cuenta que generalmente el mundo se nos acaba presentando como ms complicado de lo que nos lo sol1amos imaginar, cabe conjeturar que es infinitamente complicado, y que una parte de esa complejidad viene dada por la infinivalencia veritativa, por los infinitos grados de verdad y de falsedad. Tambi)n habr1a que tener en cuenta otra faceta, que multiplica al infinito la infinitud misma: en este trabajo s;lo hemos considerado l;gicas escalares, salvo una breve alusi;n a las lgebras producto. Hay razones "en las que ya no+o.,,&& cabe entrar aqu1" para pensar que la realidad es ms complicada, y que incurren en simplificaci;n burda las l;gicas escalares (aquellas en las que, para cualesquiera dos valores, x, z, xz o z