WPC, 2 BD ZTa3|xLaurentius_PostScript_(HP_LJ_III.PS)LAURENTI.PRSx  @hhhh2.HX@ 3'3'Standard6&&ein wittgensteiniana wittgensteiniano6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSx   Ђ#x  @U X@# dddd  hh X` hp x (#%'0*,.8135@8:3Vc{{{KK`YYYY7g```KKR>ElEEYYYVVVE?>>>>>>>>000000000000WOSEK3M>R7Q>`K]A,)[EVEsH\AQ>^E`EIEJK7O7VH_KYEcV`VO7K))EHHVOVKYOOOOOOOOOOOOOOOOOOO7777777KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK))))))))))))EEEEEEEHHHHHHHHHHHHVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVWR`,^V`,VE M?L  R  (      ك  x (#%'0=Jx  b  -  ă 2#b%,b mESES .,,. 6&&ein wittgensteiniana wittgensteiniano6&EstndarABAJO.PRSRSx  6&finitif@p@@FF MMx6&Estndaros_HP_LJ4Si)h  #?sjp P7?P# h   =T?xxx x6X@KX@7oC2o\  PCXPW!C(3AC\  PChP9tE4-t\  PCqP   y.]8*C]\  PCP9tE4-t\  PCqP9yE4-y4  p(ACqy.a8* a4  p(AC9yE4-y4  p(ACqDS?뮝\  PCP DS?4  p(AC<7sE4%-s*f9 xCqX 8uE48-u9 xICqD3rE:PoRr2PAqP["E*O3NE\  PCwPD^D*#PKdD2PAwP<{,\8*%3\*f9 xCX000000000000 o ۟ESES .,,. 6&&ein wittgensteiniana wittgensteiniano6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSx  6&finitif@p@@FF MMx6&Standardwfte simple interl.DINA4 sans Nhh  #XpiP;rEXP# hh     WB L;gica Combinatoria o Teor1a Estndar de Conjuntos?`"#Hă   yIdddy= v ي#-t\  PCqP#*  Zg  L;gica Combinatoria o Teor1a Estndar de Conjuntos?  Z "por Lorenzo Pe9a  Z5 G [publicado en  Arbor n 520 (abril 1989) %pgs 3373 #)ISSN 02101963]    yO 'B0ndice * 0." Prembulo 1." Los Axiomas de ZF 2." La Concepci;n Iterativa de los Conjuntos 3." Cr1tica de la Concepci;n Iterativa de los Conjuntos 4." Algunos Inconvenientes de ZF  5." La Individuaci;n de los Conjuntos y el Principio de Cimentaci;n (o: Las Cuitas de un Matemtico en Catonia)#  yO 6." La L;gica Combinatoria    Z) && Prembulo * Varios son los motivos por los cuales la teor1a de conjuntos ha ido granjendose la difusi;n y el prestigio de que goza (aunque, a la vez, hay que reconocer que est igualmente sometida a las embestidas de quienes, adeptos del intensionalismo, juzgan est)ril la teor1a de conjuntos al menos para fines de vuelo suficientemente alto). El ms importante de tales motivos es lo fruct1fera que se ha revelado tal teor1a no s;lo para formalizar ampl1simos sectores de la matemtica superior, sino tambi)n para ayudar, desde y con los instrumentos que ella aporta, a descubrir campos de estudio matemtico enteramente nuevos, si bien algunos de ellos, como las historias de los transfinitos inaccesibles p.ej., suenan todav1a a muchos como versiones contemporneas de la angelolog1a areopag1tica. Conque la teor1a matemtica de conjuntos "que en sus inicios, al ser puesta en pie por Frege y por Cantor a fines del siglo XIX, parec1a condenada a una vida precaria y arriesgada, ante el alud de las paradojas que pronto se revelaron en ella y que llevaban trazas de hacerla zozobrar lastimosamente" ha ido logrando, gracias a axiomatizaciones como la de Zermelo-Fraenkel (ZF en adelante) una estabilidad y una en parte merecida aquiescencia entre los especialistas. Mas s;lo en parte. El prop;sito de este art1culo es el de mostrar que filos;ficamente la teor1a estndar de conjuntos es insatisfactoria, no (o no principalmente) por ser incompatible con las intuiciones  de sesgo intensionalista, sino por un fallo much1simo ms grave: porque, con todo cuanto se ha forcejeado por inventar para ella unas credenciales, o unos t1tulos de legitimidad conceptual, que la hicieran recomendable a fuer de cimentada en una noci;n  de conjunto previa a la axiomatizaci;n y calificable dizque sin forzar las cosas como natural o espontnea o intuitiva , de hecho las construcciones semnticas que aspiran a articular,=o.o.o. semejante noci;n son meramente eso, construcciones semnticas formales "rigurosas, sin duda, pero artificiales tambi)n", ya que no existe ninguna noci;n  presistemtica como la que quieren aducir sus adeptos; al paso que, antes bien, esa noci;n (intrasistemtica, que no presistemtica) resulta sospechosamente h1brida, y acaso se trate de un engendro o apa9o  Z ad hoc. Lo peor no es eso; ni siquiera lo es el que no parece haber argumentos fuertemente convincentes a favor de la verdad de los axiomas de ZF; ni el que, aunque fueran verdaderos, no podr1an permitir articular una teor1a de conjuntos que respondiera a cuestiones filos;ficas fundamentales. Lo peor de todo es que la teor1a no puede ser verdadera, salvo interpretada de un modo no estndar. Afortunadamente, hay alternativas a la teor1a estndar de conjuntos que "no exentas, no, de dificultades, algunas de ellas bastante fuertes" me parecen, a fin de cuentas, preferibles. P.ej. las teor1as de conjuntos de Quine, NF y ML. Mas, como de ellas me ocupo en otros trabajos recientes y alguno ms en preparaci;n, me limitar) aqu1, salvo alguna alusi;n de pasada, a abogar por otra alternativa que juzgo ms prometedora incluso que las de Quine: una teor1a combinatoria de conjuntos basada en una l;gica no clsica.    ZB  1." Los Axiomas de ZF (% Embarrancada que estaba la teor1a de conjuntos por el descubrimiento de las paradojas, fue el a9o de 1908 f)rtil en soluciones. De un lado, la teor1a ramificada de tipos que se le ocurri; a Russell gracias a ideas de Poincar); teor1a que s;lo alcanz; su mejor  Z| expresi;n en la 2 edici;n de Principia Mathematica, en 1927 (al echarse por la borda el axioma de reducibilidad que, en la versi;n primera, aguaba la teor1a y la `desramificaba' por decirlo as1). De otro lado, la primera axiomatizaci;n de la teor1a de conjuntos de Zermelo. Hab1an surgido las paradojas de la teor1a de conjuntos de s;lo dos supuestos. Uno era el Principio de Abstracci;n, a saber: que, para cualquier matriz (o sea: f;rmula, que puede contener variables libres "o sea, el equivalente formal de pronombres terciopersonales), `p', es verdad lo siguiente de cualquier ente z: z viene abarcado por el conjunto de entes que p (por ^xp) en la medida en que sea verdad p', siendo p' el resultado de reemplazar en las ocurrencias libres de `x' por sendas ocurrencias libres de una expresi;n que denote a z. El segundo supuesto es el Principio de Comprensi;n, a saber que, para cualquier matriz `p', existe el conjunto de entes que p (y, por ende, que ese mismo conjunto, ^xp, es uno de los entes a los cuales se aplica el esquema anterior, el principio de abstracci;n). Para atajar las dificultades que se siguen de esos dos supuestos, Zermelo ide; un ingenioso artilugio; lo esencial del mismo estriba en abandonar el principio de comprensi;n y reemplazarlo por una serie de principios de comprensi;n particulares, que vayan estipulando para casos aislados "como con cuentagotas" la existencia de conjuntos expresables o denotables de cierta manera, pero no en general de los dems. Al paso que se mantiene el principio de abstracci;n, pero, naturalmente, restringido a los casos en que ^xp exista. Su soluci;n fue completada luego por Fraenkel y Skolem; y es el sistema as1 completado el que recibe la denominaci;n de `ZF'. Voy a empezar presentado el meollo del>+o.,,!! sistema originario de Zermelo; del principal a9adido de Fraenkel, el axioma de reemplazo, hablar) un poco despu)s; sin embargo, la primera formulaci;n que voy a dar de los axiomas zermelianos no es exactamente la originaria del propio Zermelo (en 1908), sino la hoy estndar; luego puntualizar) las diferencias, y dir) por qu) se dan. En primer lugar, Zermelo abandona la pretensi;n de enunciar un principio expl1cito de abstracci;n. Y es que, en verdad, lo que hace es enunciar cada una de las instancias que va poquito a poco estipulando del esquema de comprensi;n de tal manera que lleve aparejado su propio principio de abstracci;n "o, con otras palabras, de tal suerte que se asegure, para cada uno de los conjuntos cuya existencia se estipula, la aplicabilidad al mismo del principio de abstracci;n. As1, lo primero de todo es postular el llamado esquema de Assonderung (separaci;n o desgajamiento), que asegura que, dado un conjunto, x, existe el conjunto de aquellos miembros de x de los que sea verdad p (para cualquier matriz `p') y que ese subconjunto de x es un ente z tal que cualquier ente x viene abarcado por z ssi x es tal que p. El esquema de desgajamiento es, pues, una fusi;n de una instancia del principio de comprensi;n con la correspondiente del principio de abstracci;n. Y esa instancia es )sta: en vez de decirse que, para cualquier matriz `p', sin excepci;n, valen esos dos principios (existe ^xp y ^xp abarca a z ssi p'), en lugar de eso (el principio de) Desgajamiento dice que eso se aplica a una matriz p cuando )sta es de la forma `u abarca a x y q', siendo "eso si" `q' cualquier matriz, mientras que `u' es una variable libre; luego se cuantifica universalmente cada instancia del esquema y resulta esto: `Para cualquier ente u, existe el conjunto de miembros de u tales que p' "y es un conjunto que s;lo abarca a todos los miembros de u tales que p . El resultado de tal restricci;n draconiana acerca de c;mo deba ser la matriz autorizada en el principio de abstracci;n es que no se postula ya en general la existencia del conjunto de entes con tal o cual caracter1stica, sino Cnicamente el de, dado un conjunto que exista, un subconjunto del mismo que abarque a aquellos de sus miembros con la caracter1stica en cuesti;n. Naturalmente el esquema de desgajamiento por s1 solo no permitir1a avanzar. De ah1 que Zermelo vaya a9adiendo otros axiomas. Uno de ellos es el del dCo: para cualesquiera dos entes "id)nticos o diversos" existe el conjunto que los abarca s;lo a ellos dos "y ese conjunto, como cualquier otro, cumple la condici;n que lo especifica, o sea, en este caso: la de abarcar s;lo a ambos entes dados. Otro axioma es el de la uni;n: dado un conjunto, x, existe otro que abarca s;lo a todos los miembros de algCn miembro de x. Otro axioma es el del potencial: para cualquier ente, x, existe el potencial de x, e.d. el conjunto de los subconjuntos de x. Esos cuatro axiomas ms el de extensionalidad (si dos entes son diferentes, es que uno de ellos abarca a algCn miembro no abarcado por el otro), ms el de infinidad (segCn el cual existe un conjunto que abarca infinitos miembros, a saber el conjunto que abarca al conjunto vac1o, y que, adems, cuando abarca a un ente x, tambi)n abarca a {x} e.d. al conjunto que tan s;lo abarca a x) constituyen el sistema axiomtico de Zermelo. A9adi)ronse despu)s otros tres esquemas axiomticos; uno de ellos por Fraenkel en 1922, el de reemplazo, hace redundante al de desgajamiento "que pasa a ser un teorema demostrable; otro, a9adido por Zermelo en 1930 (pero un equivalente del cual hab1a sido acu9ado por von Neumann en 1929 y de hecho ya en 1917 por Mirimanoff "quien aparentemente, y segCn Hao Wang, constituy; una importante fuente de los desarrollos de  ZD+ von Neumann), es el axioma de Cimentaci;n, o Fundierung, a saber: cualquier conjunto noD+o.,,!! vac1o abarca al menos a un miembro disjunto respecto de s1 mismo, e.d. a un miembro que ni se abarca a s1 mismo ni abarca a ningCn otro miembro del conjunto dado; el tercer a9adido fue el famoso axioma de elecci;n. Con Cimentaci;n se probaba que ningCn conjunto se abarca a s1 mismo "y que, por ende, no existe ningCn conjunto universal, o sea: abarcador de todo. Pru)base tambi)n (con cimentaci;n ms elecci;n) que no hay ninguna cadena de abarcamiento infinitamente descendente (o sea: un conjunto que abarque a algo que abarque a algo que abarque a algo, y as1 sucesivamente al infinito). A muchos les ha encantado ese axioma y han proclamado a bombo y platillo que es intuitivamente  obvio, porque, sin )l, tendr1ase que podr1a haber, p.ej., conjuntos de conjuntos de conjuntos de conjuntos de8 de conjuntos de conjuntos8 y as1 al infinito. Aparte de que no he visto nunca un argumento en contra de tal posibilidad, lo que pasa es que con Cimentaci;n (ms el axioma de elecci;n) pru)base otra cosa (si bien "segCn en seguida lo voy a aclarar" eso no se probaba en la versi;n original de Zermelo, pues en ella los axiomas no ven1an exactamente formulados como se acaba de hacer aqu1), a saber: que cualquier conjunto tiene como Cltimo constituyente Cnico al conjunto vac1o, donde es constituyente Cltimo de un conjunto, x, si lo hay, algo z tal que: o x es(id)ntico a) z; o x abarca a z; o x abarca a uno o varios conjuntos cuyo constituyente Cltimo sea z (p.ej. x={z,{z}} etc.). Para evitar ese resultado de pesadilla, P. Suppes modific; la teor1a en 1960 "retornando en ese punto a algo parecido a la formulaci;n originaria del propio Zermelo en 1908", de modo que vinieran reconocidos entes que no fueran conjuntos; el principio de extensionalidad vendr as1 abandonado en su generalidad, y habr que introducir un nuevo predicado, )ste mondico, que, al ser concatenado con un denotador, diga que lo denotado por )ste Cltimo es un conjunto. (N;tese que ese predicado no podr tener ninguna extensi;n, o sea: no podr haber ningCn conjunto que sea el conjunto de todo aquello que satisfaga ese predicado, porque en ZF se prueba que no existe ningCn conjunto de todos los conjuntos.) Antes de seguir conviene introducir la puntualizaci;n, ms arriba prometida, sobre en qu) difiere esa formulaci;n, hoy estndar, de los axiomas de Zermelo de aquella otra que ese autor brind; de los mismos en 1908. Zermelo hab1a entonces a9adido un axioma que postulaba la existencia de s1ngulos o clases unitarias, e.d. para cada ente x, {x}. Sin embargo, dada la existencia de {x,z}, para cualesquiera x, z, existir por tanto {x,x}, que, por definici;n ser {x}. Luego es redundante. Hab1a tambi)n a9adido un axioma que dec1a que existe el conjunto vac1o, P, o sea el Cnico conjunto sin miembros. Es menester postularlo expresamente? Dada la  Z existencia de algCn ente x, existir "en virtud de Desgajamiento" un ente u al que podemos llamar `el subconjunto de x que abarque s;lo a todos aquellos de sus miembros, z, tales que  Z" z/z (si los hay)'; como evidentemente no los hay, u no abarcar a nada; por extensionalidad,  Z# u ser id)ntico al subconjunto de cualquier otro conjunto dado que abarque s;lo a los miembros de )ste Cltimo que sean diferentes de s1 mismos (y, por lo tanto, a ningCn miembro). Sin embargo, asoman dos problemas al respecto. El primero es que, a menos que  Z' se pruebe lo contrario, nada asegura que u sea un conjunto; si hay individuos, y si los  Z( individuos no tienen miembros, puede que u sea un individuo (un ente al que pertenecen los  Z) miembros del ente dado x que sean diversos de s1 mismos).)o.,,!!ԌEl segundo problema es que hemos dicho: `dado algCn ente, x'. Hay alguno? Los axiomas de uni;n, potencial, etc., son condicionales: dado un ente, existe el conjunto tal o cual. El axioma de infinidad, en cambio, afirma categ;ricamente la existencia de un ente; si no existiera el conjunto vac1o, el conjunto infinito cuya existencia postula tal axioma ser1a un ente vac1o; luego existe al menos un ente vac1o (sin miembros). Por consiguiente, el conjunto infinito en cuesti;n no es vac1o, sino que es de veras infinito. Pero ese miembro suyo al que llamamos `P', es un conjunto? Eso todav1a no est claro (a menos que se postule como axioma, que es lo que hizo Zermelo). Porque puede que  Z haya otros entes sin miembros, los individuos. Y entonces P podr1a ser uno de ellos. S;lo que en virtud de extensionalidad, todos ellos ser1an un solo y mismo ente, y, por ello, id)nticos a P. Para evitar esa consecuencia, Zermelo formul; de otra manera el axioma de  Z: extensionalidad, restringi)ndolo a conjuntos; conque los individuos, si los hay, aun no abarcando nada, no ser1an, desde luego, id)nticos a P; y, similarmente, restringi; el axioma del potencial, para evitar que cualquier individuo  fuera abarcado por el potencial de cualquier clase. La formulaci;n estndar de los axiomas zermelianos es ms elegante que la originaria, pero paga el precio de que con ella se demuestra que no existen individuos y que el Cnico constituyente Cltimo de lo real es la clase vac1a o nula. Me queda ya tan s;lo "para terminar este apartado" decir algo del axioma de reemplazo. Lo que viene a sostener ese axioma es que, dado un modo de hacer corresponder a cualquier ente, tomado como argumento, a lo sumo un solo ente como valor (funcional),  Z entonces, dado un conjunto, x, existe el conjunto de aquellos entes que sean valores  Z funcionales, en virtud de (o mediante) ese modo de corresponderse, para sendos miembros  Zx de x. N;tese que la formulaci;n es cuidadosa para evitar postular la existencia de una funci;n que ser1a ese modo de correspondencia. Hblase, tan s;lo, de un mero `modo de corresponderse'; y todo lo que se quiere con ello decir es que, si `p' es una f;rmula tal que es verdad que `p' contiene ocurrencias de sendas variables `x' y `z' y `q' resulta de reemplazar cada una de las ocurrencias libres de `z' en `p' por una, igualmente libre, de `u', entonces, si es verdad `Todo ente x es tal que, si p y q, z=u' (e.d. x no se relaciona ms que  Z con un solo ente del modo expresado en `p'), entonces, dado un conjunto v, existe el  Zz conjunto de entes, z, tales que hay algCn miembro, x, de v tal que p. (P.ej., si cada ente tiene un solo padre, dado un conjunto, el de los vinateros, hay un conjunto de los padres de vinateros.) Que con ese esquema de reemplazo se prueba el de desgajamiento es algo muy sencillamente demostrable. Lo importante es que Reemplazo es un axioma (un esquema axiomtico, para ser exactos) fort1simo. Sin )l, desde luego, la teor1a de conjuntos (zermeliana) se quedar1a coja y carente del poder deductivo tan considerable de que ha dado muestras ZF. Pero lo malo es que la, ya cuestionable, base conceptual  del sistema viene un tanto resquebrajada al a9adirse ese esquema de reemplazo.esbozoz(o.,,!!Ԍ   Zg   2." La Concepci;n Iterativa de los Conjuntos (% En honor a Zermelo, hay que decir que no se le pas; por las mientes enaltecer su sistema axiomtico como la emanaci;n de una supuesta concepci;n intuitiva  que fuera,  Z de alguna manera, la genuina y aut)ntica noci;n de conjunto. Al rev)s: en el escrito en el cual propon1a su sistema axiomtico, lo justificaba sobre la base de la bancarrota de la teor1a ingenua de conjuntos (la cantoriana), como un tanteo para encontrar una axiomtica que permitiera probar todo lo valioso en teor1a de conjuntos pero evitando las contradicciones. Todav1a ms recalc; von Neumann la arbitrariedad de los axiomas, ya sea en esa versi;n (ZF) de la teor1a estndar, ya en la que )l mismo luego elabor; (y de la cual s;lo de pasada me ocupar) en este articulo). Sin embargo, el sistema formal ZF, como tantos otros, ha sido f)rtil en suscitar modelizaciones, e.d. estudios semnticos en los que, razonando sobre ciertos conjuntos segCn suele hacerse en matemticas "sin formalizar estrictamente", se indaga si los mismos son o no modelos de una teor1a, o bajo qu) condiciones podr1an serlo, o qu) pasa si tal o cual de esos conjuntos lo es o no. (Digamos que un conjunto es modelo de una teor1a si hay una valuaci;n (admisible)  Z que env1a a cada teorema de la teor1a sobre un elemento designado o distinguido del conjunto en cuesti;n y a ningCn teorema sobre un elemento no designado.) Pues bien "como a menudo sucede", una vez elaboradas, algunas de tales modelizaciones han parecido muy intuitivas , e.d. han resultado (parecer) ser estructuras naturales , no meros ardides, e.d. no ama9adas ad hoc; tales, pues, que, de haberse pensado primero en ellas, en c;mo son y qu) contienen, hubi)rase llegado (al querer uno hacer una teor1a que viera a la Realidad como una estructura de )sas) exactamente a postular los axiomas (y reglas de inferencia) de la teor1a en cuesti;n, y no otros. La ms ambiciosa de tales modelizaciones de ZF es la semntica de estadios , explorada y defendida por Hao Wang, J. Shoenfield, G. Boolos, G. Takeuti, etc. No puedo entrar aqu1 en todos los detalles de la misma. Lo que voy a criticar no es la semntica en cuesti;n, muy Ctil, sino las pretensiones filos;ficas de quienes, como Boolos, proclaman que la misma expresa una concepci;n  ZY! espontnea de conjuntos que constituir1a una alternativa a la concepci;n ingenua (la de Frege y Cantor) s;lo que, no ya en pie de igualdad con ella, sino superior, pues la otra se ha revelado inconsistente. Consiste esa semntica "rotulada `concepci;n iterativa de los conjuntos'" en entender que un conjunto es algo que viene formado, constituido, originado, a partir de miembros, o de falta de tales miembros. Un conjunto ser1a una agregaci;n de miembros, en suma. (Precedente de ese enfoque ser1a la visi;n de Dedekind criticada por Frege; Cantor parece haber oscilado.) Conque un primer estadio en la constituci;n de conjuntos ser1aa aquel en el cual se forma cualquier conjunto de elementos dados; conjunto vac1o Cnicamente si no se dan elementos; de darse elementos, cuantas combinaciones, finitas o infinitas, de los mismos+o.,,!!  Z sean posibles "posibles en un sentido ampl1simo: imaginables sin contradicci;n; y no puede ( por definici;n ) haber contradicci;n en que se combinen varios individuos o elementos originarios dados. Viene luego un segundo estadio en el cual se forma cualquier conjunto de entes hasta aqu1 existentes, sean de los formados en el estadio anterior, sean de los dados como elementos; y luego otro as1; y as1 sucesivamente al infinito. Lo cual significa que, dados diversos conjuntos, en un estadio, f;rmase en el siguiente la uni;n de los mismos (un conjunto que s;lo abarque a lo abarcado, separadamente, por uno u otro de esos conjuntos). Tenemos ya una infinidad (numerable) de estadios. Despu)s de todos ellos viene otro, que llamamos `estadio 3', en el cual constitCyense todos los conjuntos posibles  "en ese sentido" de entes existentes hasta ese momento, e.d. de individuos y/o conjuntos constituidos en los estadios 0,1,2,3,8 Sigue al estadio 3 el 3+1, en el cual vienen constituidos los conjuntos de entes existentes hasta el estadio 3 inclusive. Luego el estadio 3+2, etc. etc. Luego el estadio 3+3 (32), luego el 32+1 y as1 infinitamente al infinito. Recapitulando los principios que rigen ese proceso infinito, cabe recalcar estos supuestos: se constituye cada conjunto una sola vez, de una vez por todas (no puede ser un Guadiana que, tras empezar a existir, cese luego de tener realidad y la recobre ms tarde "ni nada por el estilo); adems, cada conjunto viene constituido tan pronto como, previamente, tengan realidad todos sus miembros: no puede, pues, suceder que existan ya los miembros en el estadio j pero el conjunto de ellos s;lo cobre realidad en el j+2, p.ej.: cobrar realidad tal conjunto en el j+1 exactamente (dada la hip;tesis de que los miembros existen ya en el j mas no antes).  Z Lo de cules conjuntaciones o combinaciones son posibles no ha quedado quiz del todo claro. Semejaba estarlo al comienzo, pues los elementos o individuos de los cuales se part1a en el estadio 0 eran, sin duda, o inexistentes, o en cualquier caso en nCmero numerable, e.d. a lo sumo tantos cuantos nCmeros naturales hay (0,1,2,8). Pero, qu) pasa cuando haya ya entes en cantidades inenumerables? Cules de ellos, cuntos, y c;mo, pueden combinarse? Qu) ser1a esa conjuntaci;n o combinaci;n? No nos preocupemos! Digamos que pueden conjuntarse sin ms que tener algo en  Z comCn, alguna caracter1stica, e.d., sin ms que el que pueda decirse de todos y cada uno de los conjuntados que es verdad de )l tal o cual cosa, que es as1 o as. Con otras palabras, para cualesquiera entes existentes antes de un estadio y de cada uno de los cuales sea verdad que es as1 o as, surgir en ese estadio "si no ha surgido antes" el conjuntamiento de todos ellos, el ente que los abarca s;lo a todos ellos. Con esa semntica de estadios, evidentemente (o acaso no tan evidentemente "pues en verdad el razonamiento involucra un fort1simo principio de inducci;n matemtica transfinita), resultan verdaderos los axiomas de Zermelo. No as1 el esquema de reemplazo. Boolos formula este principio que regir1a una semntica de estadios adecuada para hacer verdadero el esquema de reemplazo: `Si cada conjunto viene "comoquiera que sea"  Z) correlacionado con al menos un estadio, entonces para cualquier conjunto z hay un estadio  Z) s tal que, para cada miembro v de z, z es posterior a algCn estadio con el cual venga v correlacionado'.*o.,,!!ԌAparte de que, desde luego, no ve uno qu) plausibilidad pueda tener tal postulado  Z "al margen de la de que encajen bien con )l las cosas para hacer verdadero al esquema de reemplazo", cualquiera que sea el atractivo de esa llamada concepci;n iterativa de conjuntos, o su verosimilitud como una concepci;n dizque natural de qu) sean las clases o conjuntos, lo que parece seguro es que ese postulado adicional no se beneficiar1a ya de ninguna dosis de tal verosimilitud putativa. Por otro lado, el postulado de marras restringir1a enormemente los modelos de la teor1a, las estructuras de estadios, imponiendo la existencia de estructuras que comprendan estadios de todas las cardinalidades accesibles.    Z   3." Cr1tica de la Concepci;n Iterativa de los Conjuntos (% Uno de los adalides de ZF y de la concepci;n iterativa, G. Boolos, afirma (en  Z& Journal of Philosophy 68/8 (abril 1971), p. 219):  yO  Una soluci;n final y satisfactoria de las paradojas te;rico-conjuntuales no puede estribar en una teor1a que bloquee la derivaci;n de las mismas imponiendo restricciones t)cnicas artificiales a los axiomas, restricciones que vengan impuestas tan s;lo porque, si no, se seguir1a un paradoja; esas otras teor1as sobreviven s;lo mediante tales expedientes artificiales. Bnicamente ZF (junto con sus extensiones y subsistemas) es8 una teor1a de conjuntos independientemente motivada; por decirlo as1, hay `tras ella un pensamiento' sobre la naturaleza de los conjuntos que hubiera podido exponerse aunque, por  Z? imposible, hubiera sido consistente la teor1a ingenua de conjuntos.# Es precisamente eso lo que yo pongo en tela de juicio. Nada tengo (hace falta decirlo?) contra ZF como un medio, habilidosamente fabricado, de probar bastantes cosas, esquivando las paradojas. Es una manera, como hay otras, de brindar una fundamentaci;n a amplios cuerpos de la matemtica. La prudencia, la agudeza y el tino de Zermelo y sus continuadores se han visto coronados por el )xito. Pero ah1 se terminan los m)ritos de la teor1a estndar. Los logros de esa teor1a no son triunfos de una concepci;n filos;fica subyacente, sino, antes bien, frutos de la ma9a y del andarse con pies de plomo. Ni siquiera creo que lo descrito en el apartado preceden te pueda ser decorosamente tildado de constituir propiamente una `concepci;n' de los conjuntos en un sentido interesante de este vocablo. O sea: en el sentido de constituir una representaci;n de qu) sea aquello sobre lo que se va a teorizar independientemente de la teor1a misma por construir, expresable en t)rminos no t)cnicos e imaginable  sin pasar por los moldes mismos de la teor1a en cuesti;n. En efecto: es realmente inteligible toda esa descripci;n de estadios para quien no se haya entrenado o al menos iniciado en la propia teor1a estndar de conjuntos? Veamos! Por de pronto, quien vaya a entender la explicaci;n ha de aceptar que dos conjuntos son diversos s;lo si algo pertenece al uno y no al otro. Eso "nos dice Boolos" es anal1tico. Sea! Ha de manejar ese entendedor el procedimiento de pasar allende lo finito, la recursi;n transfinita. Ha de haber entendido c;mo se forman  o constituyen, a partir de conjuntos dados, uniones de los mismos, independientemente de cules sean, de qu) niveles  sean, de cul sea la naturaleza de sus respectivos miembros. Y, sobre todo, ha de tener una noci;n ampl1sima de qu) sea una conjuntaci;n o combinaci;n posible.4+o.,,!!ԌAparte ya de cun plausible o implausible sea ese principio de conjuntabilidad, estriba la dificultad en que es una concepci;n te;rica muy fuerte: son conjuntables todas las cosas, de niveles o estadios ya  (?) dados, que compartan algo , alguna caracter1stica, e.d. que sean calificables o caracterizables de alguna manera que les sea comCn. Pero saber que existe tal conjuntabilidad no es otra cosa que saber que:  1) Hay una colecci;n, un conjunto total, de cuanto se lleva ya  formando, hasta el estadio inmediatamente anterior inclusive "e.d. que es verdadero el axioma de uni;n, segCn el cual cualesquiera conjuntos dados  son unibles, e.d. hay una uni;n o suma de ellos"; y#  2) Es tambi)n verdadero el esquema zermeliano de desgajamiento; ni ms, ni menos.# Y qu) es lo que puede hacer veros1miles esos dos supuestos? Podr1a replicarse a  Z3 mi pregunta (capciosa?) que una cosa es si esa tesis de la conjuntabilidad es verdadera o falsa, otra es que forme parte de la concepci;n. Sin embargo, estbamos en tratar de ofrecer una concepci;n presistemtica, preteor)tica, algo que, sin comulgar uno todav1a con la teor1a ni haberse enfrascado en ella, pudiera, no obstante, entender (entender en algCn sentido un poco fuerte, viendo, pues, cul sea su tenor, su atractivo, su "al menos relativa" coherencia, su enjundia, su filo o perfil,  ZQ su busilis o intr1ngulis "si se me permite decirlo as1). Claro que una concepci;n  en ese sentido es normalmente algo que a uno puede tentarlo como un canto de sirena, sin saber ad;nde lo va a llevar a uno si la abraza. Pero es que una concepci;n en ese sentido es algo describible con pocas palabras y sin tecnicismos, aunque luego "al desentra9ar sus supuestos o consecuencias" asomen resultados imprevistos o hasta parad;jicos. Recapitulo mi primera objeci;n: no es una concepci;n  en ese sentido fuerte, en el cual s1 era, en cambio, una concepci;n de conjunto la de Frege y Cantor, a saber: la de  Z que un conjunto (una extensi;n conceptual en la terminolog1a de Frege) es lo que abarca s;lo a todos aquellos entes que tienen en comCn el ser as1 o as. Esa es la concepci;n ingenua de conjunto. Mi segunda objeci;n es que hay dos alternativas a la concepci;n ingenua, a saber la construccional y la enumeracional (o conjuntacional); pero, sin embargo, la llamada concepci;n iterativa, aunque toma algo de cada una de ellas, es incompatible con ambas. La concepci;n construccional es aquella que concibe, efectivamente, un proceso de construcci;n de los conjuntos; es una visi;n de sesgo idealista, equiparable a la visi;n husserliana del idealismo fenomenol;gico transcendental, con la constituci;n del mundo, incluyendo sus idealidades matemticas, desde la intersubjetividad monadol;gica transcendental, y "ms por debajo de )sta" desde el suelo originario del ego transcendental; o, si no, algo af1n a la constituci;n de lo real en el primer Carnap, el del fenomenalismo radical (aunque en el campo l;gicomatemtico Carnap no crey; hallar ningCn proceso de constituci;n as1, pues lo encasill; en lo `anal1tico'); algo, pues, que llevar1a ms bien a optar por una l;gica como la intuicionista u otra de las de la familia de l;gicas constructivistas. Para el enfoque construccional realmente los conjuntos se van constituyendo o construyendo por estadios o pisos. Mas entonces, evidentemente, est de ms el axioma de;+ o.,,!! elecci;n, pues es lo ms anticonstructivista que cabe (a no ser que se postule el axioma de construibilidad enunciado "que no propuesto" por G?del; pero, por razones que no hacen al caso, nadie o casi nadie ha postulado tal axioma). No s;lo eso. En l;gica clsica (y en la mayor1a de las no clsicas tambi)n) `hay' equivale a `no todo no' y `todo' equivale a `no hay nada tal que no'. Constructiv1sticamente fallan esas equivalencias. En ZF, articulada sobre la l;gica clsica, valen. Y, sin embargo, debieran fallar. Porque, p.ej., de que no haya (todav1a) en un estadio ningCn conjunto as1 o as no deber1a deducirse que todos los conjuntos (en cualquier estadio) sean as1 o as. Ahora bien, constructiv1sticamente no puede hablarse de ninguna totalidad de todos los estadios, pues eso nunca cabe construirlo. Las cuantificaciones universales de ZF debieran, pues, reemplazarse por negaciones de cuantificaciones existenciales. Si es que se  Z toma uno en serio lo de un proceso de constituci;n o de construcci;n. Que, si no, entonces existe una totalidad de todos los conjuntos, no hay ningCn proceso, ni hay por qu) excluir conjuntos que se abarquen a s1 mismos, o aros (bucles), cadenas de abarques sin comienzo ni fin etc. Otro punto de conflicto entre la concepci;n construccional y la iterativa es que la primera proh1be conjuntos impredicativos, en el sentido de Poincar) y Russell, o sea: clases especificables en t)rminos de cuantificaciones tales que la variable cuantificada tenga como campo de variaci;n un conjunto que abarque a la propia clase as1 especificada, si )sta existe. Pues bien, el axioma del potencial acarrea que existen conjuntos impredicativos. P.ej., pru)base en ZF el teorema de Cantor de que cada conjunto es ms peque9o que su potencial; y se prueba aduciendo que, si no fuera as1, entonces habr1a una correlaci;n entre un conjunto x y su potencial y existir1a el subconjunto de x que abarque a los miembros de x no pertenecientes a su respectivo correlato, el cual, entonces, abarcar1a y no abarcar1a a aquel elemento de x del cual fuera correlato. Sin embargo, si no hubiera conjuntos impredicativos, entonces no podr1a haber ningCn subconjunto as1 "porque esa expresi;n incrustada `su correlato respectivo', al expandirse, revela una conculcaci;n de la predicatividad" ni siquiera en el caso de que existiera la correlaci;n en litigio; con lo cual fallar1a la prueba del teorema de Cantor (que es lo que pasa en el sistema de Russell, PP.MM., 2 edici;n, de 1927).  Zk En la semntica de estadios, lo que asegura la verdad del axioma del potencial es eso de que no pueda haber estadios intermedios entre uno en el cual ya existan todos los miembros de un conjunto y aquel en el que venga constituido )ste Cltimo. Constructiv1sticamente impondr1ase una restricci;n al respecto, prefijando esta pr;tasis: si ese conjunto es `construible', e.d. predicativamente especificable. Por ello constructiv1sticamente fallar1a el axioma del potencial (el potencial de un conjunto no abarcar1a a todos los subconjuntos del mismo). (No es, pues, de extra9ar que, ya en 1908, Zermelo criticara el principio [de exclusi;n] del circulo vicioso, como contrario a las aspiraciones de una teor1a de conjuntos matemticamente potente.) Eso por lo que hace a la concepci;n construccional. En cuanto a la enumerativa o  Z* conjuntacional, la conocen bien los escolares, pues en las clases de teor1a de conjuntos que* o.,,!!  Z se les imparten dist1nguense dos g)neros de especificaciones de conjuntos: por comprensi;n  Z (o intensi;n) y por extensi;n. Se nos cuenta que la primera especifica a un conjunto como el cCmulo de los entes as1 o as (`as1 o as' en lugar de una descripci;n indefinida); al paso que la segunda especifica a un con junto con una lista finita o infinita: {x,y,z,u,v,8}. Alguien podr1a llamar a este segundo g)nero de especificaci;n una agregaci;n e invocar a Dedekind como aquel que tendi; a ver as1 a los conjuntos.  Z En todo eso hay problemas. La especificaci;n en comprensi;n no tiene por qu) ser intensionalista. Sin embargo, el principio de extensionalidad, en la versi;n ms r1gida "que es la ms arriba expuesta" gana en atractivo si un conjunto es siempre algo especificable  Z extensionalmente y no es ms que eso; algo toda cuya entidad estriba en los miembros puestos-juntos, conjuntados. Ahora bien, esta concepci;n enumerativa o conjuntacional es incompatible con la existencia de un conjunto vac1o; pues si se dice que )ste es {}, con nada entre las llaves, se ha dicho algo interesantemente explicativo de en qu) consista? No! S;lo se ha dicho que ese conjunto, o conjuntamiento, es como un conjuntamiento de esto y aquello, s;lo que sin conjuntar nada; o sea: que es como si fuera un conjuntamiento, pero sin serlo. Tampoco permite tal concepci;n distinguir x de {x}, a un ente de su s1ngulo (la clase de los doce ap;stoles del conjunto al que s;lo ella pertenece). Ya es dif1cil entender, a tenor de esa concepci;n conjuntacional, qu) sea un conjunto infinitamente grande (no es pura habladur1a eso de una especificaci;n infinitamente larga?); pero, en cualquier caso, no puede haber especificaciones as1 de conjuntos inenumerables, ni menos de cardinalidades  Z  como 3, p.ej. Hay otra dificultad ms: por un lado, los adeptos de la concepci;n iterativa, como  Zj Boolos y Kripke, hablan en t)rminos de conjuntamiento de entes previamente dados, ci9)ndose en eso al enfoque conjuntacional; pero, por otro lado, adems de postular una clase vac1a y un s1ngulo de cada ente, postClanse en ZF axiomas como el de desgajamiento y el de reemplazo que son totalmente incompatibles con el enfoque conjuntacional; y la ra1z est en reputar como conjuntables a cosas que compartan una calificaci;n o caracterizaci;n, o sea en considerar constituible a un conjunto a trav)s de (o gracias a) una especificaci;n en comprensi;n. Algo ms, todav1a. La visi;n meramente conjuntacional de los conjuntos "como  Zj! conglomerados (pools), e.d. como conjuntamientos toda cuya entidad estribe en los  Z]" miembros puestos o tomados juntos" no puede dar lugar a otra cosa que un enfoque como el de la mereologia de Leniewski o de Goodman, o sea: una teor1a en la que la relaci;n de abarque viene identificada con la de inclusi;n y es, por ello, transitiva.  Z% SegCn esa visi;n mereol;gica, dos sumas, dos todos o conjuntamientos no pueden ser diversos si no difieren sus constituyentes Cltimos. Un corolario de ello es la ecuaci;n {x}=x. El mere;logo dir que, estribando toda la entidad del conjuntamiento en los entes conjuntados y "a lo sumo, si se quiere a9adir" en su mero estar conjuntados, no cabe conjuntar conjuntamientos ms que en el sentido de fundirlos, fusionarlos en un conjuntamiento de los entes respectivamente conjuntados en uno y en otro._* o.,,!!ԌPor ello la visi;n conjuntacional no requiere ni siquiera el uso de un verbo como `abarcar' (o lo converso, `pertenecer a'). Basta con indicar a los miembros o entes conjuntados. Claro que asoma, hasta para esa concepci;n, una dificultad al respecto, que "lo veremos en seguida" es ms grave para la concepci;n iterativa, a saber: que la especificaci;n de un conjunto por indicaci;n o enumeraci;n de los miembros comporta un `y' terminal "delante del Cltimo elemento" que sobreentiende un adicional `nada ms' o `s;lo )sos' o algo as1.  " En primer lugar, eso muestra que la especificaci;n no es puramente en extensi;n , sino tambi)n en comprensi;n , pues se hace por la caracterizaci;n de ser uno de esos  ZV entes y ningCn otro "o, mereol;gicamente visto, ningCn otro fuera de ellos, no incluido en la suma de ellos.#  Z  " En segundo lugar, se contiene una referencia a todo lo dems, s;lo que negativa, lo cual de algCn modo presupone esa totalidad de todo lo dems; de alguna manera hasta esa especificaci;n enumerativa, o por lista, es la de un conjunto que no abarque a ningCn ente que no sea uno de los enumerados, aunque si a )stos. (En seguida recalcar) eso mismo con referencia a la concepci;n iterativa.)# En todo caso, esos rasgos de la concepci;n conjuntacional la hacen inconciliable con la iterativa. Por consiguiente, la concepci;n iterativa de conjuntos no es compatible con ninguna de las dos nociones preteor)ticas de qu) sean los conjuntos alternativas frente a la concepci;n ingenua de que un conjunto es lo que abarca a los entes comCnmente calificables o caracterizables de cierta manera determinada, cualquiera que sea. Aparte de eso, no conozco ningCn argumento persuasivo a favor de esa llamada concepci;n iterativa. Sus adeptos parecen creer que la mera exposici;n de la semntica de estadios ya lo persuade a uno de que las cosas suceden as1, o al menos de que es veros1mil que as1 sucedan. Pero no: o se es constructivista, y entonces habr que postular algCn ego transcendental, o algCn seraf1n, o lo que sea, que lleve a cabo esa constituci;n por pisos finitos y transfinitos; o, si no, es dudoso que tenga un sentido claro eso de los estadios, los  Z previamente, ya etc., en ese contexto. Que, si se trata de categor1as, si los desnivelamientos son tipales, entonces no puede haber cCmulos o conjuntos, como los que postula ZF, p.ej. {el nCmero 3, {Venus}, Italia}.  Z$ Aun suponiendo que hubiera estadios de constituci;n de conjuntos (y, qu) es  Z% "d1gannoslo, por favor, los abogados de esa concepci;n!" eso de la constituci;n o  Z& formaci;n de un conjunto?), por qu) no puede haber Guadianas, o sea conjuntos que empiezan a existir, cesan luego, y vuelven despu)s a la realidad? (O que quiz periclitan para siempre.) Por qu) no? Por qu) esa conservaci;n acumulativa? Dennos, tengan la bondad, un argumento a favor de ese principio!_) o.,,!!ԌTambi)n hay sus ms y sus menos sobre el principio de extensionalidad. Si hay  Z estadios, qu) nos asegura que un conjunto no puede ver cambiados sus miembros de un piso a otro? Y, de ser as1, no habr1a que restringir el principio de extensionalidad? Por Cltimo, qu) es lo que asegura, o hace al menos plausible, que haya un primer  Z< estadio, un estadio cero? Por qu) no otro antes, y otro, y otro8? No hace falta argumento ninguno? Es tan evidente de suyo? Y, adems, qu) asegura que un conjunto no puede formarse cuando se formen sus miembros, simultneamente? (Desde luego la analog1a temporal no puede ayudar a hacer cre1ble ese postulado de necesaria posterioridad del conjunto.) Un Cltimo problema es el de que la especificaci;n de un conjunto no puede hacerse por mera indicaci;n de cosas que abarque, sino que ha de comportar la clusula o precisi;n adicional de que no abarque a nada ms que a eso. Un `s;lo', expl1cito o impl1cito; que, parafraseado convenientemente, es una negaci;n (fuerte) de abarque por el conjunto en cuesti;n de otras cosas. En efecto, si se profiere la expresi;n `el conjunto que abarca a todos los entes que p', est sobreentendi)ndose un `s;lo', pues, si no, no se habr1a generalmente especificado  Zv ningCn conjunto (determinado). (Cul es el conjunto que abarca a todos los gaditanos? Hay muchos conjuntos as1. Uno es el de los andaluces.) Mas ese `s;lo', en expresi;n formal adecuada, es un cuantificador universal seguido por una negaci;n; y ello revela dos facetas.  " La primera es que la especificaci;n o determinaci;n de un conjunto se hace por exclusi;n del `resto' de cosas, y eso significa que se hace por negaci;n. Al conjuntar "como  Z  nos lo cuentan los exponentes de la concepci;n iterativa" cosas dadas en un  Z conjunto, mediante un lazo, estamos acotando o cercando eso que con juntamos y dejando fuera a lo dems. Sin embargo, a la negaci;n o exclusi;n de lo dems "como lo vamos a ver en el Apartado siguiente" no se le concede o reconoce papel alguno ni en la concepci;n iterativa ni en ZF, pues en esta teor1a ningCn con junto tiene un complemento.#  " La segunda faceta revelada por el tcito o expreso `s;lo' en la especificaci;n de un conjunto es, precisamente, que siempre aparece en la misma un cuantificador universal irrestricto, cuyo campo de variaci;n ha de ser el conjunto universal; y )se no es compatible con la estructura de estadios; cada conjuntamiento remite, pues,  Z a un conjunto universal objetivamente existente independientemente de (antes de) los conjuntamientos sucesivos por estadios.# As1, el s1ngulo de x, o sea {x}, el conjunto que abarca a x y a nada ms, ser el conjunto z tal que todo ente, u, es tal que z abarca a u ssi u=x; todo ente u, del nivel o estadio que sea; todo miembro del cCmulo o conjunto de entes reales, pues. Ll)vanos esta consideraci;n al problema de la existencia de ese conjunto universal, la Realidad, al margen del proceso de constituci;n por estadios. Lo abordar) en la parte final del siguiente apartado.esbozos( o.,,!!Ԍ   Zg   4." Algunos Inconvenientes de ZF (% ZF es una teor1a matemtica fruct1fera y Ctil. Pero presenta varios inconvenientes. Uno de ellos es que no conserva nada que, de lejos o de cerca, se aproxime a un principio ingenuo de comprensi;n, a saber `Existe el conjunto de entes que p'. Otra desventaja es que no acepta ninguna clase universal. Es ms: demu)strase en ZF que ningCn conjunto abarca a todo. Tampoco admite ZF complementos; si existiera el complemento de un conjunto (e.d. la clase de entes no abarcados por el conjunto), entonces la uni;n de ambos ser1a el conjunto universal. Son balad1es esos tres defectos, segCn lo aseveran los adeptos de ZF? No. La noci;n de complemento es una de las ms bsicas en teor1a ingenua de conjuntos. Es dudoso que valga considerar aproximaciones a una teor1a ingenua a teor1as que no acepten, bajo ninguna versi;n, la existencia de complementos. Y teor1as que s1 la aceptan son las de Quine, NF y ML. De qu) privilegio gozan la conyunci;n, la disyunci;n, el condicional, para que s1 venga asegurada la existencia de conjuntos especificables, a partir de expresiones denotadoras de conjuntos, con el empleo de cuantificadores, el verbo `abarcar' y esos tres functores didicos, al paso que estar1a prohibido formar un denotador "en general" con el empleo de la negaci;n? Nadie "que yo sepa" ha aducido un argumento convincente para privilegiar de ese  Z modo a los functores didicos y positivos en desmedro del negativo. Ms grave todav1a es la falta de cualquier principio general de comprensi;n. Una teor1a de conjuntos que s1 lo tiene es ML de Quine. Cierto que en ella viene, a cambio, sacrificado "o, mejor, restringido o matizado" el principio de abstracci;n. Existe el conjunto de entes que p. Quiere eso decir que es un conjunto que s;lo abarca a todos los entes que p? No forzosamente `El ente as1 o as' puede ser una expresi;n denotativa sin que por fuerza el ente denotado por ella tenga que ser, exactamente, as1 o as; puede que sea lo suficientemente pr;ximo a ser as1 o as como para merecer venir considerado y apodado `el ente as1 o as'. (Que nuestras actuales teor1as de descripciones definidas no prev)n ni autorizan eso es indicio de que no estn lo bastante finamente perge9adas.) `Me encontr) con el portero' " `Bueno, sabes? no es exactamente un portero?' (Qui)n no lo es? El portero.) Recu)rdese el debate Donnellan/Kripke, que, desde esta ;ptica, podr1a reconsiderarse en parte.) Tengo para m1 que ninguna teor1a de conjuntos es aceptable si no contiene o alguna versi;n, quiz atenuada o matizada, tanto del principio general de comprensi;n cuanto del de abstracci;n, o, a falta de eso, aproximaciones al uno y al otro principio en forma de postulaciones de casos tan numerosos y variados, tanto del uno cuanto del otro, como sea posible sin incurrir en incoherencia; o al menos apunte en esa direcci;n. No sucede eso con ZF. Nada que tienda a un esquema general de comprensi;n. Y, en lo tocante al de abstracci;n, s1, irrestricto salvo con esta restricci;n: la pr;tasis `si existe2+o.,,!! el conjunto de entes que p'. No ser1a mejor dejar caer tal pr;tasis y, a cambio, debilitar o restringir de otro modo la ap;dosis? O, en lugar de tener un Cnico principio general de abstracci;n, por qu) no aproximaciones parciales al mismo, en una construcci;n sistemtica sin pretensiones de exhaustividad o definitividad, abierta a seguir postulando otras instancias ms del mismo, en un proceso de aproximaci;n asint;tica al ideal de la teor1a ingenua, proceso cauteloso y atento para evitar las paradojas? Filos;ficamente es inaceptable una teor1a de conjuntos sin ningCn principio general de comprensi;n. Por lo siguiente. Filos;ficamente la Cnica raz;n para creer en conjuntos es ser realista en el problema de los universales y, a la vez, extensionalista (de algCn pelaje). (N;tese que `universal' aqu1 no significa lo que significa en `el conjunto universal', sino  ZG s;lo esto: un ente compartido, tenido o ejemplificado en comCn, por las cosas caracterizables o calificables de cierta manera comCn.) Es decir, el Cnico motivo filos;fico para afirmar que hay clases o conjuntos es pensar que ni el nominalismo ni sus variantes como el conceptualismo son respuestas adecuadas a la cuesti;n de los universales; sino que hay algo que tienen en comCn los entes de alguna manera similares, una similitud objetiva que los une, que comparten; y que ese algo es "en algCn sentido interesante" extensional, o sea: un ente del mismo nivel ontol;gico (categorial) que sus miembros "comparte con ellos algo, el existir, en el mismo  ZG sentido de la palabra `existir'" y, adems, en algCn sentido tiene una entidad radicada en la de sus miembros, a saber: la diferencia entre dos universales o propiedades tiene algo que ver con un diferente abarque por sendas propiedades de unos u otros entes; diferente abarque que, eso s1, puede consistir en una discrepancia menos fuerte que la que exige el principio clsico de extensionalidad; puede consistir, simplemente, en que no abarquen a cualquier ente ambas en la misma medida. (De eso de las `medidas' o los grados en seguida dir) unas palabras ms.) Sin principio de comprensi;n no puede una teor1a de conjuntos articular una concepci;n realista de los universales, ni poco ni mucho. Y qu) si se dice que existe el algo en comCn compartido por todos los nCmeros naturales o el algo compartido por los que tienen riquezas, mas no el algo en comCn compartido por los entes que no tienen riquezas? No, no! El que en un idioma exista un monema acu9ado para significar o denotar a una propiedad o clase no es condici;n necesaria de existencia de un conjunto, ni su falta es ni siquiera indicio de tal inexistencia. Casi todas las expresiones denotativas de clases o propiedades son perifrsticas o sintagmticas. Otra raz;n ms para echar de menos un principio general de comprensi;n o una aproximaci;n al mismo, o siquiera una serie de tales aproximaciones: el vocabulario de ZF es el de la l;gica clsica, paup)rrimo. No se prev)n en esa teor1a los grados ni los matices al)ticos. Por ello resulta sumamente dif1cil articular una interesante teor1a de conjuntos difusos como una extensi;n de ZF. Porque en una teor1a de conjuntos difusos necesitar1amos, p.ej., dado un conjunto, x, reconocer la existencia del conjunto de entes, z, tales que z es ms bien perteneciente a x; el de entes, z, tales que z es un poco perteneciente a x; el de entes, z, tales que z es, hasta cierto punto por lo menos, perteneciente a x; el de entes, z, tales que z es totalmente perteneciente a x. Etc.C+o.,,!!ԌQue eso (en general) no es lo mismo que el conjunto de entes que pertenecen a x y le pertenecen as1, o as. El vocabulario de que hemos menester para formar expresiones denotativas as1 es infinito, seguramente. Y ninguna extensi;n plausible de ZF puede darnos nada satisfactorio al respecto. Igual pasa con functores didicos. Necesitaremos, p.ej., junto a la mera conyunci;n `y' otros functores conyuntivos, como un ms insistente o interactivo functor de superconyunci;n, `no s;lo8 sino tambi)n'. Adems del mero condicional, habr otros condicionales en algCn sentido ms fuertes, o ms estrictos. Ser, entonces, preciso  Z multiplicar axiomas tan ad hoc como lo son el del potencial y el de la uni;n para atender a por lo menos alguno de esos nuevos functores?  ZX (Como el modus ponens de unos es el modus tollens de otros, no faltar quien vea en este argumento un motivo para rechazar los enriquecimientos que ofrecen las teor1as de conjuntos difusos. Pero dudo que sea razonable semejante conservadurismo.) Y es que hay alternativas. Aun dentro de un enfoque brotado de la l;gica clsica, estn las teor1as de Quine, NF y ML. Ambas poseen principios generales de comprensi;n. La una, NF, demasiado restringido (con el requisito de estratificaci;n); pero en todo caso,  Zv no como una mera lista de axiomas ad hoc, que es lo que pasa en ZF. Por lo cual es perfectamente viable, sali)ndose del angosto recinto de la l;gica clsica y disfrutando de la nueva abundancia de recursos que ofrecen l;gicas multivalentes, articular una teor1a de conjuntos difusos segCn las pautas de NF. La otra, ML, tiene un esquema de comprensi;n irrestricto (al menos es )se un modo de entender y describir el sistema), restringiendo a cambio el principio de abstracci;n; en exceso tambi)n (de ello resulta una dificultad redhibitoria); pero, para el problema que ahora  Z estamos abordando, eso es marginal. Teor1as de conjuntos difusos que sean ensanchamientos de ML de Quine las hay. (Una de ellas vino expuesta en mi tesis doctoral, hace diez a9os; otras en libros y trabajos posteriores.) Estriba la importancia de esa cerraz;n de ZF para con cualquier difusificaci;n de los conjuntos "al rev)s de lo que sucede con teor1as articuladas con las axiomticas que respectivamente caracterizan a NF y ML" en que, a diferencia de estos Cltimos sistemas, ZF es clsico hasta la m)dula, de manera consustancial e irremediable. (chase de ver eso en que en ZF "y en la concepci;n iterativa que le sirve de semntica" un conjunto viene especificado por abarcar esto, aquello, lo de ms all, y por no abarcar en absoluto a nada ms. Es una concepci;n, no exactamente enumerativa o  ZS" conjuntacional, no, pero, eso si, extensivista de los conjuntos. En ese sentido le va bien el principio de extensionalidad en su formulaci;n ms r1gida. A tenor de ese enfoque, no cuentan para la pertenencia a un conjunto los grados; ni los del estar dentro del conjunto, ni los del estar fuera de )l. Por el contrario, una concepci;n de los conjuntos que vea a )stos como los  Z' universales in rebus "los entes compartidos por aquellas cosas que sean caracterizables en comCn de cierta manera", una concepci;n que, como consecuencia de ello, reconozca esquemas de comprensi;n mucho ms amplios, estar abierta a que, por la ampliaci;n ulterior del vocabulario, con la introducci;n de functores de matiz al)tico (con graduacionesU*o.,,!! tanto en la afirmaci;n cuanto en la negaci;n), quepa reconocer la existencia de conjuntos que, aun teniendo los mismos miembros, no los tengan en la misma medida. A tenor de eso, el principio de abstracci;n y el de extensionalidad recibirn modificaciones; como m1nimo el reemplazo del bicondicional `ssi' (`si y s;lo si') "que tan s;lo requiere verdad (en uno u otro grado) de ambas clusulas, o, si no, falsedad total de ambas" por un functor ms estricto de equivalencia: `en la misma medida en que'. Un conjunto zermeliano es algo que s;lo tolera que un ente venga totalmente abarcado por )l o que no venga en absoluto abarcado por )l. La concepci;n iterativa as1 lo requiere. No valen matices ni grados. No s;lo por el clculo cuantificacional subyacente (eso pasa tambi)n con las de Quine), sino por la (putativa) entidad misma de los conjuntos  ZV y su g)nesis. Bltimo problema con ZF: la ausencia de clase universal. Si es verdadera ZF, es verdadero cada uno de sus teoremas; es, pues, verdadero entonces que no existe ningCn conjunto de todos los conjuntos; si ese y los dems asertos de ZF son verdaderos (a secas), es que la Realidad es uno de los modelos de ZF; la Realidad es el conjunto de todo lo real; )ste es (si es verdadera ZF) tal que no abarca, pues, todo lo real. Por el principio de abstracci;n (de ZF), si existe ^xp, ^xp abarca a x ssi p; por ende, si es verdadera ZF, entonces, si existe la Realidad, )sta abarca a todo, incluso a s1 misma. Luego (siguiendo la verdad de ZF) no existe la Realidad. Luego no hay ningCn modelo de ZF que sea la Realidad. Luego ZF no es verdadera. No puede ser verdadera. Este sencillo argumento es tan decisivo que asombra ver c;mo tratan de escabullirse, casi con subterfugios, algunos adeptos de ZF. Porque, si lo que replican es que )sos son problemas metaf1sicos en los que ellos no entran, bien! Estn en su perfecto derecho "aunque a uno le pueda parecer un poquit1n fr1volo ese encogerse de hombros (como si en el fondo no fueran metaf1sicos los otros problemas de la matemtica). Pero, en fin, es leg1tima esa actitud de especialista. No es soluci;n correcta el decir, como muchas veces se hace, que en ZF las variables tienen un campo de variaci;n restringido a conjuntos, siendo diferente conjunto de clase (todo conjunto ser1a una clase mas no a la inversa). No porque sea il1cito inventarse ese distingo artificial, o cualquier otro, no, sino porque ZF no dice que sus variables est)n as1 restringidas. Claro que cabe traducir  ZF a otra teor1a (p.ej. NB, la de von Neumann-Bernays) de tal manera que )sta resulte, con o mediante esa traducci;n, una extensi;n conservativa de la primera, y en el resultado se postule algCn g)nero de aproximaci;n a la clase universal (que es lo que pasa en NB). Pero entonces, de ser verdadera esa otra teor1a, lo verdadero no es cada uno de los axiomas originales de la teor1a traducida , sino tan s;lo la peculiar versi;n del mismo que brinda la teor1a receptriz a trav)s de la funci;n traduccional en cuesti;n. Que no es poca cosa la relectura de las variables irrestrictas de una teor1a como  Z& variables de cierto tipo (o suerte) particular, en otra, o como variables restringidas segCn el procedimiento habitual de ensanchar las cuantificaciones (`Todo es tal que p' pasa a `Todo ente, x, es tal que, si x es as1 o as, p'). En cualquiera de los dos casos "pero desde luego sobre todo en el segundo", lo que se ha hecho dista de ser anodino o inocuo; as1 que decir, segCn es costumbre, que NB es una extensi;n conservativa de ZF, es en el mejor de los casos inducir a enga9o sin querer; porque, a lo sumo, eso podr decirse para el primerC+o.,,!! g)nero de traducci;n, o sea para una de las versiones de NB, la que es presentada como teor1a plurisortal (que es lo que hizo Bernays, a diferencia de la presentaci;n originaria de von Neumann). Es a todos los efectos util1simo el recurso a ese g)nero de traducciones o proyecciones de una teor1a de conjuntos en otra que, en cierto sentido al menos, sea ms potente. Abre los horizontes a indagaciones te;rico-mod)licas interesant1simas: el g)nero  Z de investigaciones de modelos internos (inner models). Lo Cnico malo es la interpretaci;n que, quiz torcidamente, puede darse de eso para (mal)responder a un problema filos;fico, metaf1sico, como el reci)n apuntado del conjunto universal.  Z Aparte de que NB s;lo postula una clase universal que abarca Cnicamente a una fracci;n infinitesimal de lo existente; ni siquiera se abarca a s1 misma, pues s;lo abarca a entes ms peque9os que ella; en tanto que la clase universal de ML de Quine "aunque no sea del todo universal, que no lo es" s1 abarca a much1simo ms, se aproxima ms a ser una clase como su propio nombre indica, la Realidad, el conjunto de todo; y, por su parte, NF s1 reconoce no s;lo la existencia de la Realidad, la clase universal (en este sentido, que hay que distinguir de aquel en que se habla de los universales), sino que, adems, reconoce que la Realidad, el conjunto de todo, es efectivamente un conjunto de todo. No tiene entonces un partidario de ZF ninguna manera de tratar de responder a la dificultad metaf1sica que constituye para su teor1a la ausencia necesaria de clase universal? Si, puede intentar varias salidas. Una es relativizar la relaci;n de abarque. En lugar de un Cnico abarque, habr1a una cadena infinita de los mismos; y ZF tan s;lo dar1a  Z expresi;n a uno de esos abarques, abarquez. Conque la ausencia de clase universal ser1a Cnicamente la inexistencia de un ente  ZQ que abarquez (zermelianamente) a todos los entes. Nada excluir1a que hubiera otros abarques y que, o bien alguno de ellos fuera compatible con un abarcador universal, o bien con esa serie se tendiera asint;ticamente a algo as1. Otra respuesta viable ser1a la de que un modelo, o mejor una modelizaci;n, no tiene por qu) comportar un conjunto de todos los entes que intervengan en la modelizaci;n, sino tan s;lo la existencia de esos diversos entes. No me parece que est)n exentas de graves inconvenientes esas dos salidas. A ambas las veo asediadas por dificultades que me parecen redhibitorias. Pero, por lo menos, son intentos serios de afrontar el desaf1o ms arriba expuesto. Los partidarios de ZF harn bien, pues, en perseverar en la bCsqueda por la v1a de algo as1 como una de esas dos salidas. En espera de lo que nos ofrezcan, parece que, hasta aqu1, el balance filos;fico sobre el enfoque de los conjuntos en ZF no puede ser positivo.    Z(  5." La Individuaci;n de los Conjuntos y el Principio de Cimentaci;n o:  Z)  ԚLasCuitas de un Matemtico en Catonia) )o.,,!!Ԍ* Curiosamente, el mejor argumento a favor, si no exactamente de la teor1a estn dar ZF, siquiera de algo de esa laya, es uno proferido en a9os ms recientes por nada menos que Quine:las variantes de la teor1a estndar, al excluir clases exentas de cimentaci;n, brindan un mejor criterio de identidad o individuaci;n de los conjuntos que el que pueden proporcionar las propias teor1as de conjuntos de Quine, pues en )stas no se excluyen clases sin cimentaci;n. Ya sabemos que una clase carece de cimentaci;n si es un conjunto que abarca a un conjunto que abarca a un conjunto que.. Las ra1ces de ese piropo que regala Quine a la teor1a estndar son )stas. Quine ha  Z llevado una campa9a contra la postulaci;n de atributos o propiedades entendidos como universales no extensionales; que, si son extensionales, no tiene sentido ninguno diferenciarlos de los conjuntos. Lo que ha reprochado a esa postulaci;n es que no brinda ningCn criterio de identidad o individuaci;n del g)nero de entes as1 postulado. Muchos han entendido esa demanda de un criterio de identidad como la exigencia de algo que aporte condiciones, si no necesarias, al menos s1 suficientes y, a la vez, ms claramente comprensibles, o previamente conocibles, de suerte que sea posible aplicar el criterio en el proceso cognoscitivo. Quine, sin embargo, ha declinado comprometerse a estar pidiendo tanto. No! Todo lo que pide )l es que se ofrezca algCn tipo de aclaraci;n de la identidad de los entes postulados en forma de, o bien algCn racimo de condiciones suficientes de identidad, o bien alguno de condiciones necesarias, o "mejor" uno de cada cosa (mejor todav1a, eso s1, uno de ambos a la vez), o "por lo menos y a falta de eso" aproximaciones a ello. Aproximaciones informativas en general, que no forzosamente en las aplicaciones.  Z O sea: no se est pidiendo la conocibilidad previa de aquello que sirva de criterio,  Z sino meramente que el conocimiento del criterio "en ese sentido lax1simo" ayude a entender qu) sea o c;mo y cundo se d) la identidad entre entes del g)nero que se quiere postular.  ZD S;lo en eso estriban el impacto y la pretensi;n del adagio quineano `No entity  Z7 without identity'. Es ms: no se excluye que las aclaraciones suministradas acaben girando en un c1rculo. Como lo se9al; en una c)lebre respuesta Quine "contestando a una interpelaci;n sobre sus resistencias a aceptar la noci;n de analiticidad", )l no se opone a explicaciones que a la postre giren en un c1rculo, con tal "eso s1" que de algCn modo todo ese proceso circular aporte alguna luz. Y, no obstante, en los Cltimos tiempos ha ido cambiando el )nfasis de Quine sobre ese punto (y sobre otros). Se ha ido acercando a la teor1a estndar, y ha tendido a desestimar sus propias contribuciones teor)tico-conjuntuales. Otros motivos lo llevan tambi)n a ello, mas el que aqu1 nos interesa "porque es el que se ha traducido en el argumento evocado al comienzo del presente apartado" es )se de que no se suministra ningCn criterio de identidad claro con clases sin cimentaci;n (con clases, p.ej., que se abarquen a s1 mismas, pues evidentemente )sas son no-cimentadas).  Z( Mas, por qu) no? Si el criterio que se est pidiendo es meramente algo como el g)nero de explicaciones que 1bamos indicando poco ms atrs, entonces todo principio de extensionalidad suministra un criterio. Y Quine no se desdice de eso. Pero ahora recalca algo ms. Busca, en lo posible, un criterio en un sentido ms fuerte. Lo lleva su+o.,,!!  Z preocupaci;n por problemas psicogen)ticos "que viene de lejos y alcanz; su apogeo en The  Z Roots of Reference" a preguntarse c;mo se llega a elaborar y comprender la noci;n de conjunto "y, con ello, la de identidad entre conjuntos, por el famoso adagio reci)n citado. Y es en ese andar en pos de las ra1ces, los engendramientos de nuestras adquisiciones cognoscitivas, o simplemente doxsticas, donde empiezan a semejrsele a Quine demasiado laxas o modestas sus anteriores demandas. No bastar ya con decir que ^xp=^xq ssi zx(p ssi q) "aparte de que ese principio no vale en el sistema ML. Eso ser informativo y aclaratorio, pero puede que no facilite el g)nero de informaci;n que es menester en el proceso de aprendizaje de la noci;n de conjunto. Claro que podr1a uno aprender primero esa noci;n con aplicaci;n a clases cimentadas y luego extrapolar. Algo as1 parece sostener Quine a menudo; pero Cltimamente ve dificultades aun en eso, ya que la extrapolaci;n correr1a el riesgo de constituir un salto o una ruptura ileg1tima. Comprendo los escrCpulos de Quine. Y no tengo nada muy satisfactorio o definitivo que ofrecer para ese g)nero de indagaci;n psicogen)tica. No es que crea que la misma carece de inter)s o pertinencia; simplemente es algo para lo que los fil;sofos no solemos estar bien equipados y que me parece estar todav1a en mantillas. En cualquier caso, lo que voy a se9alar es que ZF no est en condiciones de ofrecer nada positivo al respecto. Y que la noci;n de clases no cimentadas, particularmente de clases que se abarcan a s1 mismas, es de sentido comCn. Que ZF no puede resolver ese problema es un corolario inmediato de las tribulaciones "que expusimos en el Apart. 1" de ese sistema con respecto a los individuos. La existencia de individuos es inconciliable con la versi;n estndar de ZF. Entiendo por individuos, o entes singulares (me parece preferible llamarlos as1), entes que sean:  1) o bien entes que s;lo se abarquen a s1 mismos (tal es el sentido que sol1a dar Quine a `individuo');#  2) o bien entes que abarquen a sus partes, las cuales abarquen a las suyas, etc. "as1 al infinito o as1 hasta entes sin partes que sean individuos en el sentido (1);#  3) o bien entes que no abarquen a nada pero difieran de P, la clase vac1a.# La versi;n estndar de ZF excluye (3), (2) y (1). Una versi;n de ZF, como la originaria de Zermelo, que acepte (3), pagar el enorme precio de abandonar el principio de extensionalidad "salvo en una versi;n aguada y ms complicada" y el del potencial "idem", tener que postular un axioma ms (la existencia de P); y, peor que todo eso, tener que introducir un predicado mondico primitivo adicional para el que no cabr aportar  Z2$ dilucidaci;n alguna. Podr ser `indiv', y entonces un conjunto ser1a un ente, x, tal que fuera  Z%% falso indiv(x); o, al rev)s, `conj', siendo entonces un individuo un ente, x, tal que sea falso  Z& conj(x). Da igual, desde luego. Ninguno de los dos compromisos ideol;gicos  (en el sentido de Quine) nos ayuda a entender mejor la realidad. Cualquiera de ellos es el recurso a un birlibirloque "s;lo que no se espere de )l otra ganancia que la de permitir que el sistema marche sin negar que hay individuos , o sea algos  que no son conjuntos, aunque no sabemos de ellos nada que la teor1a nos ayude a conocer!)o.,,!!ԌPero, adems, es sospechosa y hasta espCrea esa dicotom1a entre individuos, o entes singulares, y conjuntos. Arranca el modo teor)tico o sistemtico de expresarse del contexto del habla normal, e incluso de la del cient1fico no matemtico; en )sta son conjuntos los reba9os, las cordilleras, las dunas, los poblados, los ej)rcitos, los ajuares, los acervos de datos, etc. Y, no obstante, son tambi)n entes espaciotemporales y que sufren y ejercen acci;n causal.  Z Por ello par)ceme lo mejor identificar a un ente singular "en un sentido t)cnico ms restringido" con uno cuyo abarque sea transitivo; as1 una mesa abarca a sus partes, y a las partes de sus partes, etc. (o bien hasta el infinito, o bien hasta partecillas at;micas cada una de las cuales se abarque tan s;lo a s1 misma). Mas esta noci;n de individuo, lo mismo que la de Quine o cualquier otra, es incompatible con ZF. Aunque es muy de sentido comCn. (Como un ente singular, en esa acepci;n, es aquel para el que la relaci;n de todo a partes coincide con la relaci;n de conjunto a miembros, un ente as1 tambi)n se abarcar a s1 mismo.) Con lo cual se ganar el poder decir que es un conjunto una duna, e.d. un cCmulo de granos de arena, cada uno de los cuales es un ente singular. Y similarmente para reba9os, ajuares, mobiliarios, enjambres etc. No son los entes singulares los Cnicos que, veros1milmente, se abarcan a s1 mismos. Lo hace tambi)n la clase universal, si existe (en ZF, desde luego, no puede existir). Tambi)n la clase de todas las clases de ms de dos elementos. Etc. Pero vamos a ver "al margen de ese g)nero de clases" una cuyo descubrimiento revela la quiebra del enfoque iterativo de la formaci;n  de los conjuntos. Pongamos que en Catonia estipula la Ley de Impuestos que cualesquiera varios contribuyentes que compartan el mismo domicilio forman, juntos, un cCmulo o conjunto con el mismo domicilio comCn a sus miembros; y que ese cCmulo es, a todos los efectos, un contribuyente ms, a no ser que est) incluido en otro que tambi)n sea un contribuyente. Esta Cltima clusula de reserva est introducida para evitar una excesiva carga fiscal; la de que los cCmulos sean disjuntos beneficiar a pares de parejas que vivan juntas compartiendo no s;lo techo sino tambi)n un miembro (un b1gamo, digamos: Catonia es pluralista e indulgente en materia de costumbres). En la c/ Ctulo N 1, 1 izq., de la capital de Catonia viven Z;simo y Fabin. Al ser promulgada esa ley, empiezan a reflexionar sobre a qu) vengan por ella obligados (cuntas declaraciones de renta debern cumplimentar?). Conque, habi)ndose hecho un l1o, acuden a un vecino, profesor de matemticas. (ste cree a pie juntillas en ZF. Les dice:  yO$  SegCn la versi;n estndar de ZF no exist1s; pero voy a retrotraerme a la versi;n originaria de Zermelo (modificando, pues, los axiomas del potencial y de extensionalidad, postulando el axioma  {O5& de existencia de P, y acu9ando el predicado primitivo, sin extensi;n, `conj'). Pues bien, como sois individuos, y los individuos no tienen miembros (no abarcan a nada), cada uno de vosotros es, desde luego, disjunto de cualquier cosa, conjunto o no conjunto. Juntos formis un conjunto, {Z;simo,Fabin}, que ser un contribuyente salvo si se demuestra que est incluido en otro contribuyente. Pero, por qu) iba a estarlo? Como uno cualquiera de vosotros, p.ej. Z;simo, es disjunto de cualquier ente, ser disjunto del conjunto reci)n formado; luego otro contribuyente ser {{Z;simo,Fabin}, Z;simo}; que este conjunto ni incluye al anterior ni est incluido en )l; similarmente otro contribuyente ser {{Z;simo,Fabin}, Fabin}, por id)ntica raz;n. Y, para cada uno de los contribuyentes construidos hasta un momento+o.,,!!  {O dado de esa manera, c, habr otros dos contribuyentes, {c,Z;simo} y {c,Fabin}. Luego estiss en c/ Ctulo 1, 1 izq. infinidad de contribuyentes. Os toca, pues, cumplimentar un nCmero infinito de  Z declaraciones de renta.# Los infelices Z;simo y Fabin, al o1r eso, deciden, desconsoladamente, poner fin a su vida en comCn. Qu) hubiera podido dec1rseles desde otra perspectiva? En primer lugar que un ente singular es el conjunto de sus partes, incluido )l mismo entre ellas. Conque Z;simo no es disjunto de {Z;simo,Fabin}. Pero vamos a suponer, no obstante, que s1 lo sea; vamos a suponer que un cuerpo es el cCmulo de sus partes propias, o sea de las partes suyas no  Z totales. As1 y todo, hay otra posibilidad; y es la de que exista un cCmulo c = {Z;simo,Fa Z bin,c}. Como ese cCmulo no es disjunto ni de {c,Z;simo} ni de {c,Fabin}, sino que )stos  Z estn incluidos en c "al igual que tambi)n est incluido en c {Fabin,Z;simo}", resulta, no  Z s;lo que ninguno de esos otros cCmulos es un contribuyente "si lo es c" sino que adems  Z "nuevamente suponiendo que c sea un contribuyente" ninguno de ellos, d, ser tal que {c,d} tenga que ser un contribuyente. Por consiguiente, como no puede haber una infinidad de contribuyentes en un domicilio (el Estado se arruinar1a proporcionando, sin fin, formularios para declaraci;n de  Z renta), lo Cnico sensato es pensar que existe c y que c abarca s;lo a Fabin, a Z;simo y al  Z propio c.  Zy Ese cCmulo, c, es, pues, lo que suele decirse en Catonia `ambo et uterque', ambos individuos unidos por el enlace ms el enlace entre ellos y consigo mismo. (Si se quiere, tendrn que estampar tres firmas: cada uno la suya por separado y una tercera hecha juntos.) El Fisco recibir, pues, Cnicamente tres declaraciones de renta de c/ Ctulo 1, 1 izq. En beneficio de todos, pero con especial solaz de Fabin y Z;simo. (Vide infra, final del apartado siguiente.)    Z  6." La L;gica Combinatoria (% Constituye la l;gica combinatoria un intento de alternativa bastante radical en la concepci;n de los conjuntos. Clsicamente se distingue un conjunto, x, de su funci;n caracter1stica, e.d. de la funci;n f tal que para cualquier ente, z, f(z)=1 (la Verdad) si z viene abarcado por x, y, si no, f(z)=0 (la Falsedad). Para entender la l;gica combinatoria conviene identificar a cada conjunto "o, digamos mejor, a cada determinaci;n" con su funci;n caracter1stica; con una diferencia, y es que ha de desecharse esa bivalencia de la funci;n caracter1stica, a favor de una plurivalencia, quiz infinita. En l;gica clsica hay una frontera absoluta, categorial, entre entes denotables (o  Z1' representables o lo que sea) por oraciones o f;rmulas, y otros g)neros de entes. En l;gica combinatoria, no. Categorialmente no hay fronteras. (Lo cual no excluye que haya diferencias; pero no categoriales, o sea: no tales que lo que tenga sentido afirmar o negar de un ente de una de las categor1as no lo tenga de uno de otra categor1a.)m+o.,,!!ԌAs1 pues, cada ente puede ser considerado como un individuo, y como un conjunto, y como un hecho o estado de cosas. Si se quiere, un mismo signo puede ser le1do, segCn los contextos, como un nombre y como una oraci;n; en el segundo caso, a9adi)ndose el verbo (sobreentendido) `es verdadero' (o, quiz, `existe', si identificamos la verdad ontol;gica con la existencia). Conque nuestra sintaxis combinatoria autorizar como signo cualquier concatenaci;n de signos. Y cada signo ser una oraci;n, una f;rmula bien formada. Una l;gica combinatoria tendr entre sus signos primitivos unos combinadores; un combinador ser un signo `#' que, prefijado a un cierto nCmero de signos `p', `q','r',8, constituir una f;rmula demostrablemente equivalente a otra en la que ya no est) esa ocurrencia inicial de `#' y, en cambio, s;lo aparezcan combinaciones, directas o indirectas, de esos otros signos `p','q','r',8 (no forzosamente de todos ellos). (Las equivalencias en cuesti;n valdrn o bien irrestrictamente, para cualesquiera signos `p', `q', `r'8, o bien "que es lo que sucede ms a menudo en CD" con determinadas restricciones.) Un modo muy elegante de introducir los combinadores es postular como primitivos tan s;lo dos: $ y . $ ser tal que para (todos o muchos) p,q,r: $pqr=pr(qr). (Nuestras f;rmulas son asociativas hacia la izquierda: `abc' abrevia a `(ab)c'.)  ser tal que, para cualesquiera p, q: pq=p. Con esos dos se definen )stos otros:   (tal que pqr = p(qr));#   (tal que pqr = prq);#  2 (tal que 2pq = pqq);#   (tal que pq= qp);#  1 (tal que 1p=p :1 es la Verdad, o la Existencia; que, por cierto, resulta ser lo mismo que la relaci;n de abarcar.#  Z $ es un operador de voz media (p.ej. si x=desear, u=tener )xito, z=Macario, entonces $xuz es el hecho de que Macario se desea )xito "o sea que desea su propio )xito).  Z! 2 es un reflexivizador directo.  es la pertenencia.  es el conversor. Y  es el asociador. Definimos luego qu) sea, con respecto a una f;rmula dada cualquiera, r, y a otra f;rmula, p, el abstractor de r respecto de p, rp. Que ser esto: si r=p, entonces rp=1; si r no tiene ocurrencias en p, entonces rp=p. Si no se da ninguno de esos dos casos, sino que p es una concatenaci;n sq, que contiene alguna ocurrencia de r, entonces rp = $rsrq. Si valieran sin restricci;n todos los principios que se acaban de estipular, la l;gica combinatoria que estamos construyendo entronizar1a un principio irrestricto de abstracci;n. En efecto, probar1ase que para cualesquiera ente r y determinaci;n rp (la determinaci;n de ser un ente tal que p, o el cCmulo de los entes que p), valdr1a la siguiente ecuaci;n rpr=p*o.,,!! (o sea el que la determinaci;n de ser tal que p abarque a r es lo mismo que el que sea verdad que p). Y de ah1 deducir1ase la paradoja de Russell. Hay l;gicas combinatorias que tienen ese principio irrestricto de abstracci;n, acompa9ado del principio irrestricto de comprensi;n. Una de ellas es el sistema Q de Fitch. S;lo que en )ste la negaci;n no es clsica. No vale en su sistema el principio de tercio excluso. As1, aunque se demuestra en el mismo que R (que abrevia a rN(rr) "donde `N' es la negaci;n, `no') es tal que: RR=N(RR), sin embargo no se sigue de ah1 ni que RR ni que N(RR); porque en tal sistema no vale la inferencia p=Np  pUNp. (El signo `U' denota la conyunci;n (copulativa).) Aunque sistemas como )se de Fitch me parecen constituir pasos adelante extremadamente valiosos, y aunque es desde luego considerable la ventaja que comportan de reconocer a la vez, irrestrictos, ambos principios, el de comprensi;n y el de abstracci;n, sospecho, sin embargo, que es demasiado elevado el precio, o sea el sacrificio del principio de tercio excluso. Adems, si tratamos de articular una teor1a que d) cabida a lo difuso, no ser preferible, en lugar de abandonar el principio de tercio excluso, optar por un enfoque paraconsistente con tercio excluso, con no-contradicci;n, pero sin regla de Escoto (a saber: p, Np  q)? Ms exactamente, en lugar de tener una sola negaci;n, tener dos: una d)bil y otra fuerte o clsica. A cambio, habr que restringir alguna de las dos ecuaciones precedentes (acerca de  y de $) con una serie de cortapisas. De esa manera resulta un sistema, el clculo de determinaciones CD, que he expuesto con detalle t)cnico en otro lugar (en  Z  Consideraciones filos;ficas sobre la teor1a de conjuntos: II , Contextos N 12, Universidad de Le;n, 1989). Ya para terminar este articulo, voy a enumerar algunos de los rasgos de ese sistema.  1) Estriba la diferencia entre las dos negaciones "la simple o natural, `N', le1da `no' a secas, y la fuerte o supernegaci;n, `', le1da `no8 en absoluto' o `es del todo falso que'" en que para la primera valen estas leyes (donde `' es la implicaci;n que se lee `s;lo en la medida en que', `D' es el condicional, que se lee `s;lo si', `V' la disyunci;n y `U' la conyunci;n; `' es la equivalencia: `en la misma medida en que'): son teoremticos los esquemas:# pVNp, N(pUNp), pVqN(NpUNq), pUqN(NpVNq), pNNp, pq(NqNp). No lo son, en cambio: pDqD(NqDNp), pUNpDq, pD(NqDp). Al paso que para la segunda valen estos esquemas teoremticos:# pDqD(qDp), pD(pDq), pD(pDq), pDp, pDp, pVp, (pUp), (pUq)(pVq), pUq(pVq).# Mas no valen )stos (no son teoremticos): pp (s1 vale pp, pero no el rec1proco), pVq(pUFq) (vale la implicaci;n del miembro derecho por el izquierdo, mas no la inversa), pUq(pVq) (idem). `' es, en suma, la negaci;n clsica.#+o.,,!!Ԍ 2) En CD vale la mitad implicativa del esquema de abstracci;n, a saber: rprp. Vale  Z incluso otra versi;n ms fuerte de esa mitad implicativa de tal principio, a saber: rprD(rprp).#  3) En CD valen muy numerosos y diversos casos del esquema rec1proco al anterior, o sea muy diversos casos del esquema equivalencial de abstracci;n rprp. La axiomtica de CD es la de un sistema abierto, inacabado, susceptible de enriquecerse con ulteriores aproximaciones al esquema general de abstracci;n.#  4) En CD vale el esquema de comprensi;n con s;lo una restricci;n. FormClase as1 tal esquema: Existe rp o bien rp=0 (donde `0' es una constante definida que no denota nada "o, si se quiere, que denotar1a la Falsedad absoluta).#  5) En CD vale una regla de extensionalidad generalizada o debilitada que es )sta (las variables vienen introducidas en CD como signos definidos): xzuzU(x0u0)  x=u. (Si es menester el segundo conyunto de la premisa es porque una determinaci;n es algo que, cuando se le da un argumento, algo existente, le hace correspon Z der un valor, o ninguno, mientras que, cuando va a tomar argumento sin que nada le venga dado a titulo de tal, entonces puede que por s1 misma, espontneamente, haga corresponder, a tal (o ante tal) falta de argumento, un cierto valor.#  Por eso, en CD no existe ningCn cCmulo absolutamente nulo, o sea 0 (=x(0)) es absolutamente inexistente (es =0). Lo cual, dicho sea de paso, constituye una gran ventaja, pues un cCmulo o conjunto absolutamente vac1o es  Z algo que s;lo sugestionndose llega uno a aceptar. Como lo dice Geach (en  Logic  Z Matters , p.231):#  yO4  Ahora bien, si una clase es constituida como teniendo ciertos miembros, c;mo podemos llegar a una sin ningCn miembro, como habr1a de serlo la extensi;n de cualquier concepto vac1o? La clase nula vino introducida en l;gica por Boole y Schroeder con documentaci;n falsa, como la clase a la que nos referimos al usar la palabra `nada'; demasiado a menudo los libros modernos de l;gica orillan la dificultad con una mezcla de sof1stica y trampantojo. Si usamos `clase' y `miembro' en su sentido ordinario, no puede haber ninguna clase carente  yO de miembros.#  Desde luego no es decisivo ese argumento. Y, por otro lado, mayor ser  Z su fuerza si la concepci;n de conjunto que tenga uno es extensivista, en la vecindad de la conjuntacional (que es lo que aspira a hacer la teor1a estndar, con su concepci;n iterativa ). As1 y todo, para cualquier concepci;n de conjunto, la clase absolutamente nula es un engorro.#  6) Pueden definirse en CD traducciones de sistemas clsicos, como ZF. Sin embargo, sendas traducciones de tales esquemas no son siempre teoremticas en CD. Pueden, no obstante, postularse como axiomas adicionales, aunque Cnicamente para algunas de esas traducciones, no para otras.#  7) CD es una teor1a axiomtica de conjuntos difusos; la cual puede contribuir a encontrar mejores soluciones para los sorites (la paradoja del mont;n y otras de la misma 1ndole) que las que, tan estipulativamente arbitrarias, quieren imponerse desde la  Z\) l;gica clsica: si un cCmulo de 99!99 granos es un mont;n, y, cuando un cCmulo de n granos es un mont;n, tambi)n lo es uno de n-1 granos, entonces hasta un cCmulo vac1o (la clase nula) ser un mont;n. Respuesta: no hay clase absolutamen>+o.,,!!Ԯte nula (vide supra, (5)); por lo dems el razonamiento es correcto: hasta un cCmulo de un grano es un mont;n. Pero de que lo sea no se sigue que lo sea en tal o cual grado determinado "ni, menos, que lo sea en una medida total, del 100%", sino s;lo eso: que lo es, punto; que lo es, acaso, tan s;lo en una medida infinitesimal. Porque, `si p, entonces q' es verdad con tal que o p sea del todo falsa o q sea  Z verdadera (en la medida que sea). El modus ponens (pDq, p  q) no conserva el grado de verdad de las premisas "o, ms precisamente, no conserva el grado de  Z verdad de la segunda premisa, la menor", sino que tan s;lo conserva la calidad misma de verdad.#  8) Una interpretaci;n intuitiva  de CD seguir1a pautas como las siguientes. Identificamos una relaci;n con su dominio; y, para un ente de ese dominio, x, y una relaci;n r, rx ser la imagen por r del cCmulo {x}, e.d. ser el cCmulo de entes con los que guarde x la relaci;n r. (As1, si i es la identidad, ix ser el cCmulo de entes id)nticos a x, o sea el s1ngulo de x; una determinaci;n, pues, que s;lo tiene el propio x.) Una  Z determinaci;n intranseCnte, no (propiamente) relacional, ser entonces un cCmulo z tal que para cualquier ente x: zx (el venir abarcado x por z) ser un cCmulo que s;lo se abarque a s1 mismo (cada uno vive su vida, muere su muerte, anda su  Z caminar, etc.: acusativo interno). Cada ente viene identificado con su propia existencia: 1x=x. (O sea, tambi)n, con su propio abarcar, e.d. con el cCmulo de cosas por )l abarcadas.)#  9) CD no es un sistema recursivamente axiomatizable. (Por lo tanto, y en virtud del teorema de Craig: su axiomtica no es recursivamente enumerable.) D)bese eso a ciertos postulados disyuntivos de la forma `Para cualquier f;rmula p , o 8 p es un teorema, o, si no, ---p es un teorema', con determinados signos en lugar de esos puntos suspensivos y guiones.#  As1 pues, CD no est en el campo de aplicaci;n del teorema de G?del de incompletabilidad de sistemas que contengan la aritm)tica.#  ZO  10) En CD vale el axioma de elecci;n para un cCmulo, B, que incluye no s;lo a 3 (el cCmulo de nCmeros naturales), sino a algo que es, probablemente "aunque aqu1 estoy s;lo conjeturando" un cCmulo, cuya cardinalidad es un punto fijo para la funci;n de nCmeros cardinales cada uno de los cuales es, tambi)n )l, un punto fijo de esa funci;n (o un punto fijo de la funci;n  si es que ambas son id)nticas  Z como lo dice la hip;tesis generalizada del continuo). Dicho cCmulo, B, viene en CD reconocido como bien ordenado; y, adems, como un cCmulo todos cuyos miembros y subcCmulos son entes insegregables, o sea: entes, r, que, con respecto a cualquier cCmulo rp, cumplan la ecuaci;n rpr=p; adems, uno de los postulados de CD afirma que, o bien p es un combinador (en el sentido de esa palabra definido ms arriba, a comienzos del tercer prrafo del presente apartado) o, si no, p es un ente insegregable s;lo si tambi)n es un cCmulo universalmente agregativo, e.d. un cCmulo rp tal que, para cualquier r, rpr=p. Tanto los miembros como los  Z' subcCmulos de B son universalmente agregativos.#  11) Los nCmeros naturales vienen definidos en CD como combinadores especiales. 0, el nCmero cero, es un combinador tal que, para cualesquiera entes, x, z: 0xz=z. 1, el nCmero uno, es la Existencia o Verdad, o sea: 1x=x (y, por ende, 1xz=xz). 2 = xz(xxz); conque 2x = z(xxz). 2(ser-bello) es la determinaci;n de ser un ente+o.,,!! cuya belleza sea bella (algo que, seguramente, poseen "aunque no en la misma medida quiz" cuantos entes posean belleza); 2i ser la relaci;n entre un ente dado y su s1ngulo (2ix ser, pues, el s1ngulo del s1ngulo de x). 3z = u(zz(zu)): si z es la relaci;n de producir efectos o consecuencias causales, entonces 3z ser una relaci;n que guarde un hecho con otro si )ste es (conjuntamente) producido por el cCmulo de efectos (conjuntamente) producidos por el cCmulo de efectos producidos por el primer hecho. Y as1 sucesivamente. (La negaci;n natural, N, es un ente tal que para todo nCmero natural non, n, nN=N; para todo nCmero natural par o cero, m, mN=1.)#  Z  12) En CD demu)strase que (fuera de B) existen cCmulos no universalmente agregativos y existen cCmulos segregables; en particular un cCmulo que se segrega (de s1 mismo) a s1 mismo, a pesar de cumplir la condici;n de pertenencia a s1 mismo: el cCmulo fuertemente russelliano, R, o sea r(rr). Es tal que (RR), mas de ninguna manera (en ningCn grado) RR. Pero, en cambio, por lo que hace a entes denotados por expresiones en las que no figuren ni `' ni `' ni ninguna ocurrencia del cuantificador `z', demu)strase que tales entes son insegregables y, por lo tanto, si no son combinadores (vide supra, final del punto 10), tambi)n universalmente agregativos. Uno de ellos es el originario de Russell, xN(xx), que se abarca y no se abarca a s1 mismo. (Y que tambi)n abarca, por cierto, a R; es ms: lo hace en medida total, plenamente.)#  13) En CD el cCmulo de los entes que p es siempre el mayor de aquellos cCmulos que s;lo abarquen entes que p.#  14) Existe en CD un cCmulo absolutamente universal: 1 (que es =x(1)): es un cCmulo tal que para cualquier r el abarcar a r ese cCmulo es la Verdad absoluta. Por consiguiente, si CD es coherente (no delicuescente), tiene modelos; si es una teor1a verdadera, uno de tales modelos es la Realidad; y puede dentro de CD formularse una teor1a de modelos apropiada para CD "que era una de las tareas de las que se revelaba incapaz la teor1a estndar.#  ZZ  15) Adems de relajar la extensionalidad clsica mediante el principio de intensividad (que viene recogido en la versi;n de la regla de extensionalidad vlida en CD "vide punto 5, ms arriba" y que cabe expresar as1: cuenta para la identidad o individuaci;n de un cCmulo no s;lo qu) cosas abarque sino tambi)n cunto abarque, o deje de abarcar, a cada una de ellas), tambi)n relaja y matiza CD la extensionalidad clsica mediante una cierta intensionalidad, a saber: teniendo un operador (tensorial) `B', que cabe leer `Es afirmable con verdad que' o `Es verdad en todos los aspectos que', que es similar al operador de necesidad clsico en un sistema modal normal fuerte como S5, pero con esta diferencia: la regla de G?del (pBp) vale irrestrictamente en CD, al paso que en el sistema clsico S5 esa regla s;lo vale para premisas que se hayan demostrado como axiomas en el sistema. En CD, en cambio, no es irrestrictamente vlido el metateorema de la deducci;n (porque pBp y, sin embargo, no es teoremtico el esquema `pDBp'). Por eso mismo, he formulado para CD una regla y no un axioma de extensionalidad. (Pero es demostrable en CD el teorema de extensionalidad en esta versi;n mitigada o moderada, a saber "siendo `z' el prefijo del cuantificador universal y `y' el del existencial":# zx,yyz(B(xzyzU(x0y0)D(x=y)).)+o.,,!!Ԍ La identidad de los cCmulos o determinaciones depende, pues, de qu) abarquen, cunto y en qu) aspecto lo hagan. (En particular, podemos considerar que los lapsos de tiempo son algunos de esos aspectos de lo real. Conque dos cCmulos pueden compartir sus miembros, incluso en la misma medida el uno que el otro, en un momento, sin ser id)nticos. Y un cCmulo puede tener diversos miembros en per1odos diferentes. Aparte de que "record)moslo!" cuentan tambi)n los grados de abarque.#  16) En CD vale tambi)n esta otra enunciaci;n, tambi)n a veces denominada "en su versi;n clsica, ms fuerte" `principio de extensionalidad' (que, sin embargo, no es teoremtica "ya lo dije en el apartado anterior" en el sistema de Quine ML): B(zx(pq)U(rs))D(xp=xq) donde r, s, difieren, respectivamente, de p, q, s;lo por reemplazo de las ocurrencias libres de `x' por sendas ocurrencias de `0'.#  17) En CD no puede (aparentemente) probarse en forma general el teorema de Cantor,  Z/ aunque si se prueba para cada cCmulo abarcado o incluido por el cCmulo B. (Se prueban, si, algunas versiones restringidas generales del teorema de Cantor; p.ej. pru)base una versi;n que se aplica a cada cCmulo cuyo potencial sea universalmente agregativo.)#  18) No todo acerca de CD son ventajas. Comparando a ese sistema con ZF resaltan dos cosas. La primera es que CD es much1simo ms complicado. La segunda es que es, tambi)n, ms arriesgado, menos garantizado contra la delicuescencia (o Post-inconsistencia); menos, porque tales garant1as, segCn se desprende del teorema de G?del, son siempre s;lo relativas (y se dan por grados).#  A cambio de eso estn los beneficios que proporciona CD. P,ej., a cambio de las complicaciones de la teor1a l;gica, pu)dese obtener una simplificaci;n de la teor1a cient1fica (y no cient1fica) global; en verdad, con ZF no hay prcticamente c;mo aplicar la teor1a l;gico matemtica a nada, salvo encogi)ndose de hombros ante lo que dice literalmente la propia teor1a (en una actitud ficcionalista). Por otro lado, el grado de peligrosidad de una teor1a (lo arriesgado que sea, afirmndola, arrimarse al precipicio de la delicuescencia) suele ser directamente proporcional al inter)s de la teor1a. Como lo he mostrado en otro lugar "coincidiendo con muchos autores (K. Lehrer etc.)" el prop;sito que ms hay que abrazar no es el de evitar (minimalizar) el error, sino el de maximalizar el saber (minimalizar la ignorancia).#  19) Para concluir, un punto jocoso. La hip;tesis contemplada al final del Apartado  Zg! precedente de un cCmulo c = {c, Z;simo, Fabin} es formulable y no refutable en CD (aunque desde luego tampoco demostrable, a menos que CD sea delicuescente,  ZK# Post-inconsistente). Definamos `c' como `xyy(zz((z=Fabin V z=Z;simo V z=y)Uyx)' "o sea: la determinaci;n de pertenecer a un cCmulo que s;lo abarque:  Z9% a Fabin, a Z;simo y a s1 mismo. Supuesto que Fabin y Z;simo son ambos / c  Z,& (eso ser1a fcil de constatar), entonces, si se da la premisa de que c se abarca a s1  Z' mismo, dedCcese que c es exactamente {c,Fabin,Z;simo}. (Sin esa premisa no  Z( se puede demostrar que c abarca a Z;simo o a Fabin.) Conque, si bien es sin duda mejorable la legislaci;n de Catonia, no habr, en ese asunto, ningCn motivo puramente l;gico para exigir la abrogaci;n de la ley de impuestos; aunque, por otro lado, ni siquiera ese recurso ser1a menester, puesto que ni Fabin ni Z;simo sern disjuntos de {Fabin, Z;simo}.