WPCC 2EBVSZ3|x2xxx Xx  @X@Standard PrinterSTANDARD.PRSx  @WnX@92-02-25 19:18 algunas aplicaciones filos;ficas de l;gicas multivalentes art1culo para el nCmero especial de THR: panormicaFormateado para la HP LaserJet III D; duplex #x  @UX@# dddd X` hp x (#%'0*,.8135@8:qP# dddd  \h    << =Њ"^,;HXX;;;Xd,;,1XXXXXXXXXX11dddNvvlb;Elbvbll;1;SX;NXNXN;XX11X1XXXX;E1XXXXNU#U`;,;;;;;;;;;;;;X1NNNNNvvNlNlNlNlN;1;1;1;1XXXXXXXXXXNXXXXNNNvNvNvNvNXlNlNlNlNXXXXXXXX;1;1;1;1EXl1l1l1l1l1XXXXXXv;v;v;bEbEbEbEl1l1l1XXXXXXXlNlNlNXl1Xv;bEl1XXXXX"^NhhhhNhNWWWhy&hWhhhWWWhyW>hNhh84hhhhhhhhhhWhWhWhWhWhWhWhWhWyWWWWWhhhyyyyWWW&WhyW2Ram '"^Nh8hhhNhNWhh"y&8hWhhhWhWyh{E{hNhh84hhhhhhhhhhW8yWyWyWyWyWyWyWyWWWWWW8yyyyhhh8WyhKmNh^gW8hh88h8"m^4EthhЮEEEhw4E4:hhhhhhhhhhEEwwwh–QhŖtЖE:EyhEht]t]Eht:Et:thtt]QEthhh]R.RlE4EE#EEEEEEEEEEt:hhhhhЖ]]]]]Q:Q:Q:Q:thhhhtttthhthhhhhh]]]]t]]]]hhhhhhttQ:Q:Q:Q:ht:::::tttthhЖ]]]tQtQtQtQEEEttttttЖh]]]t:t]tQEhhthtKI4qhEhhhhhh?Ehh:hhhEEhhttEh"m^,;bXX;;;Xe,;,1XXXXXXXXXX;;eeeXvvlEXvlbvv;1;gX;XbNbN;Xb1;b1bXbbNE;bXXXNF'F\;,;;;;;;;;;;;;b1XXXXXNvNvNvNvNE1E1E1E1bXXXXbbbbXXbXXXXXXNNNNbvNvNvNvNXXXXXXbbE1E1E1E1Xbv1v1v1v1v1bbbbXXNNNbEbEbEbEv;v;v;bbbbbbXvNvNvNbv1bNbEv;XXbXbK>,_X;XXXXXX5:XX1XXX;;XXbb;X"m^,;JXX;;;Xw,;,1XXXXXXXXXX;;wwwXllvll;NvbvllXbllbbE1EKX;XXNXN1XX11N1XXXXEE1XNvNNEG1G`;,;;;;;;;;;;;;X1lXlXlXlXlXvvNlNlNlNlN;1;1;1;1vXXXXXXXXXbNlXXXXbNlXlXlXvNvNvNvNXlNlNlNlNXXXXXXXX;1;1;1;1NvNb1b1b1b1b1vXvXvXvXXXvlElElEXEXEXEXEb1b1b1XXXXXXvbNbEbEbEXb1vXlEXEb1bNbNXXXK>,\XEXXXXXX17XX&bbX;;XXXX;b2 R} d "^AWjWWWAWAHHHsWeWHWzWsssWHHHWeHs}4}WAWW+WWWWWWWWWWHssssssssssWHWHWHWHssssssssssssWHWHWHWHeHHHHHWWWeeeeHHHsssHWeH"^AWWWWAWAHWWeWHWWssWHWHseWsf9fWAWW+WWWWWWWWWWHssssseHeHeHeHsssssssseHeHeHeHHHHHHssseeeeWWWsssHseWK[AWNVHWWWbestilo de referencias bibliogrficas}Xkk #k  0Negrilla + subrayadoB-. 2~' 0! m" mW$%"m^,EbXX;;;Xe,;,1XXXXXXXXXX;;eeeXvvvvvEXvllvblvvll;1;eX;XXNXN;Xb11X1bXXXEE1bNvXNE='=e;,;;;;;;;;;;;;X1vXvXvXvXvXvNvNvNvNvNE1E1E1E1bXXXXbbbblNvXXXXlNvXvXvXvNvNvNvNXvNvNvNvNXXXXXXbbE1E1E1E1XvXl1l1l1l1l1bbbbXXvEvEvEbEbEbEbEl1l1l1bbbbbbvlNlElElEXl1bvEbEl1lNlNXXbK>,XXEXXXXXX/5XX1XXX;;XXbb;X"^$0;IIyq000IR$0$(IIIIIIIIII((RRR@iaaiYQii08iYiiQiaQYiiiiY0(0DI0@I@I@0II((I(qIIII08(IIiII@FFN0$000000000000I(i@i@i@i@i@aa@Y@Y@Y@Y@0(0(0(0(iIiIiIiIiIiIiIiIiIiIi@iIiIiIiIi@i@i@a@a@a@a@iIY@Y@Y@Y@iIiIiIiIiIiIiIiI0(0(0(0(8iIY(Y(Y(Y(Y(iIiIiIiIiIiIia0a0a0Q8Q8Q8Q8Y(Y(Y(iIiIiIiIiIiIiiIY@Y@Y@iIY(iIa0Q8Y(iIiIiIiIiI"^)2>>g`)))>F)">>>>>>>>>>""FFF7rYRRYKEYY)0YKnYYEYREKYYtYYK)"):>)7>7>7)>>"">"`>>>>)0">>Y>>7;;C))){))))))))))>"Y7Y7Y7Y7Y7nRR7K7K7K7K7)")")")"Y>Y>Y>Y>Y>Y>Y>Y>Y>Y>Y7Y>Y>Y>Y>Y7Y7Y7R7R7R7R7Y>K7K7K7K7Y>Y>Y>Y>Y>Y>Y>Y>)")")")"0Y>K"K"K"K"K"Y>Y>Y>Y>Y>Y>nYR)R)R)E0E0E0E0K"K"K"Y>Y>Y>Y>Y>Y>tYY>K7K7K7Y>K"Y>R)E0K"Y>Y>Y>Y>Y>"m^4EXhhEEEh4E4:hhhhhhhhhhEEhE]thtttQ:QXhEhh]h]:hh::]:hhhhQQ:h]]]QS9SqE4EE#EEEEEEEEEEh:hhhhh]]]]]E:E:E:E:hhhhhhhhht]hhhht]hhh]]]]h]]]]hhhhhhhhE:E:E:E:]]t:t:t:t:t:hhhhhhŋQQQhQhQhQhQt:t:t:hhhhhht]tQtQtQht:hQhQt:t]t]hhhKI4mhQhhhhhh:Ahh-tthEEhhhhEt2-'j)ix,,"m^4QthhEEEhw4E4:hhhhhhhhhhEEwwwhQhtE:EwhEhh]h]Eht::h:thhhQQ:t]h]QI.IwE4EE#EEEEEEEEEEh:hhhhhŖ]]]]]Q:Q:Q:Q:thhhhtttt]hhhh]hhh]]]]h]]]]hhhhhhttQ:Q:Q:Q:hh:::::tttthhŖQQQtQtQtQtQ:::tttttt]QQQh:tQtQ:]]hhtKI4hhQhhhhhh7?hh:hhhEEhhttEh"9 ^1;HXX;;;Xa,a,1XXXXXXXXXX11aaaNvvlb;Elbvbll;1;SX;NXNXN;XX11X1XXXX;E1XXXXNU#U`KQ,PX;NXXXXX17XX NNX;;XXbb;Ntdaaa~1a::aaa~~~~kkGa0~W,Iykk~~~~NkktWaaa~~~yyyaXWWWWWWWWDDDDDDDDDDDD{ouakIlWsNsWk\>:ayaf\rWaafaikNpNzfk}ayyoNk::affyozk~oooooooooooooooooooNNNNNNNkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk::::::::::::aaaaaaaffffffffffffyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy{s>z>zaCourierTimes RomanTimes Roman BoldTimes Roman ItalicTimes Roman Bold ItalicSymbolITC Zapf Dingbats n al Coloqd" XBك 26-0 2"5d)cr.DINA4 simple interl.&Npage,ANELIAge ESES ,.,. 6&6&EstndarBRUDGLYP.PRSXh46&finitif@p@@FF MMx6&EstndarBRUDGLYP.PRSXh4,; ````  Xh4 PEqS    =     K< X` hp x (#%'0*,.8135@8:?WHP[2PA P<_7sE4%-s*f9 xCqXDp+`;1Pcs`2PAPu8uE48-u9 xICqEEW6y=''=PuqP2C syo l\,\П ESES .,,. 6&&ein wittgensteiniana wittgensteiniano6&StandardII.PS)LAURENTI.PRSx  6&finitif@p@@FF MMx6&EstndarII.PS)LAURENTI.PRSx  hh  #q| P7qP# dddd  hh    << =ЊX01Í ÍhhX01ÍÍ. 3 R : Aplicaciones filos;ficas de l;gicas multivalentes`H"#Hă   ydddy  v   ÚAlgunas Aplicaciones Filos;ficas  v,  de L;gicas Multivalentes  Z $Lorenzo Pe9a    Rg XTheoria, N 161718 (octubre de 1992) "t. A, pp. 141163  R #ISSN 04954548.    R & Abstract M ManyValued logics can harbour nonclassical connectives expressing truthnuances. The course of development of manyvalued logics has given rise to paraconsistent systems wherein a sentence can be both negated and asserted just in case it is only partly true. A recently implemented family of such logics is shown to be a useful tool in coping with a number of philosophical difficulties, such as Zeno's paradox of the arrow. This family is somehow akin to fuzzy logics initiated by Zadeh, but unlike them it contains as a tautology the principle of excluded middle. >  'Sumario 0." Consideraciones Preliminares 1." Caracterizaci;n de las l;gicas multivalentes 2." Algunos jalones en el desarrollo de las l;gicas multivalentes  R 3." Algunas razones filos;ficas para optar por l;gicas transitivas  v    Z  0." Consideraciones Preliminares * Es prop;sito del presente art1culo mostrar c;mo algunas l;gicas multivalentes poseen  Z9 una fecundidad filos;fica que las acredita cual alternativas motivadas y plausibles a LC (la l;gica clsica). Este art1culo no es t)cnico. Los detalles t)cnicos pueden hallarse en otro trabajo re Z ciente del autor.H R ##V)ase L;gicas multivalentes , que aparecer en la Enciclopedia IberoAmericana de Filosof1a. En )l podr asimismo encontrar el lector un somero historial de las l;gicas multivalentes, un tratamiento relativamente detallado de una l;gica infinivalente (someramente expuesta aqu1, al final de la 2), y referencias a estudios recientes "o menos recientes" al respecto. En las pginas que siguen, voy: en primer lugar, a indicar en sus grandes l1neas qu) son las l;gicas multivalentes; en segundo lugar, a enumerar unos pocos jalones en el desarrollo de tales l;gicas; en tercer lugar y sobre todo, a discutir ciertas aplicaciones filos;ficas brindadas para alguna de tales l;gicas.  ك  Z# x 1." Caracterizaci;n de las l;gicas multivalentes ă No resulta tan fcil como podr1a parecer a simple vista definir qu) sea una l;gica  Z% multivalente. Estamos acostumbrados a ver a LC , o sea aquella a la cual estamos habituados  Z& "aquella tambi)n que viene presentada en los manuales como la l;gica" como la l;gica bivalente. Sin embargo, dicha caracterizaci;n no es tan evidente o irrebatible como podr1a'=o.o.o.  Z pensarse. En efecto, lo que permite dar a LC la denominaci;n de `la l;gica bivalente' es el hecho de que, si: 1) tomamos como Cnicos valores de verdad la Verdad y la Falsedad; 2) admitimos que los valores de verdad que haya sern conjuntamente exhaustivos; 3) admitimos que los valores de verdad que haya sern mutuamente exclusivos; 4) sobre esos [dos] valores asignamos a la conyunci;n y a la negaci;n las funciones normales (definidas  Z por medio de las tablas veritativas); y 5) definimos segCn es habitual dentro de LC las restantes conectivas (la disyunci;n, el condicional y el bicondicional) usualmente consideradas como  Z verifuncionales; entonces, para cualesquiera letras esquemticas dadas,  p ,  q , etc, s;lo todos  Z los esquemas teoremticos de LC son tautol;gicos, e.d. tales que sern verdaderos (o sea,  Zy tales que les vendr siempre asignado un valor designado "siendo aqu1 designado s;lo el valor Verdad) cualesquiera enunciados resultantes de colocar uniformemente oraciones dadas, sean las que fueren, en los lugares de sendas letras esquemticas en dichos esquemas. Para que se d) esa coincidencia extensional entre ambas clases, partimos de varios supuestos, s;lo uno de los cuales es que se den exactamente dos valores de verdad. Podemos poner en tela de juicio que sean mutuamente exclusivos, o que sean conjuntamente exhaustivos; podemos tambi)n proponer alternativas a la estricta verifuncionalidad de la conyunci;n, o de la negaci;n, o no aceptar las definiciones comCnmente establecidas, o introducir otras conectivas nuevas irreducibles a )sas "que puede que no sean verifuncionales. En muchos de tales casos, pero no en todos, obtendremos clases de tautolog1as diferentes de la clase de  ZY tautolog1as de LC . El requisito 2 "el de que los valores de verdad que haya sean conjuntamente exhaustivos" ha sido, desde luego, rechazado por cuantos proponen los huecos o boquetes verivalentes, como los enfoques presuposicionales (Strawson) y sus refinamientos "semntica supervaluacional, como la de van Fraassen. Sin embargo, la comparaci;n de los resultados t)cnicos no avala la dicotom1a de principio que algunos quieren encontrar entre la postulaci;n de uno o ms valores veritativos suplementarios y la de situaciones (o enunciados) sin valor de verdad. Parece que )ste es uno de los casos en los que est) justificada la protesta contra el uso de dicotom1as sin criterio de adjudicaci;n: la locuci;n `carecer de valor de verdad' es un sintagma para el cual nadie ha brindado un criterio claro, mediante el cual se pueda deslindar el comportamiento de las situaciones sin valor de verdad del de situaciones que tuvieran algCn valor veritativo no clsico dotado de determinadas cualidades. La controversia, pues, en torno a si se dan tales situaciones no parece pertinente desde el punto de vista del estudio de sistemas axiomticos. Hablar de tales situaciones es igual "a efectos, por lo menos, de la descripci;n y caracterizaci;n de tales sistemas" que hablar de situaciones con valores no clsicos que posean ciertos rasgos. Pasemos al requisito 3. (ste parece ms debatible: que haya exactamente dos valores veritativos, ni ms ni menos, no es a simple vista seguro que conlleve la mutua exclusi;n entre ellos. Hay casos en los que usamos s;lo dos denominaciones complementarias mas de tal manera que hay solapamiento parcial entre ellas: noche y d1a, p.ej.: los lapsos crepusculares,  Z& o parte de ellos al menos, pueden recibir y a veces reciben tanto la denominaci;n de noche  Z ' como la de d1a. Por qu) no cabe pensar que, aunque haya s;lo dos valores veritativos, ciertas situaciones pueden tener a la vez ambos valores, cada uno de ellos en determinada medida? De nuevo aqu1 hay que calibrar bien cun cierto sea que el problema abordado conlleva una diferencia real, no sea que nos volvamos a enfrascar en una dualidad meramente terminol;gica. Suponemos que hay, en el tiempo de nuestro planeta "salvo latitudes extremas",H+o.,,ZZ una fase diurna y una nocturna, que se suceden alternativamente; mas sabemos que se dan por grados, que unos lapsos de tiempo son ms nocturnos que otros. En la prctica eso no nos impide entendernos las ms veces bastante bien: segCn en qu) contextos estemos, diremos  Z o no "en la conversaci;n corriente" que tal lapso era nocturno.rz RT ## P.ej., daremos como explicaci;n de por qu) no procedimos a una filmaci;n que era de noche "y nos estamos refiriendo a un rato a eso de las 6 de la tarde en invierno"; la explicaci;n es buena y ver1dica, pero no proceder1a decir lo mismo si se tratara de por qu) no se rescat; a alguien (suponemos que s;lo la plena noche es un obstculo a esa tarea). Los contextos puede que no hagan cambiar los valores de verdad de sendos enunciados, pero s1 alteran las condiciones de aceptabilidad pragmtica. Lo cual puede recibir muchas explicaciones alternativas, una de las cuales es )sta: que para cada contexto hay, en los hechos pertinentes al mismo, sendos grados de verdad exigibles en funci;n de las caracter1sticas del contexto en cuesti;n.r Mas hemos de ver en qu) (a efectos de descripci;n de los sistemas formales o axiomticos) el que haya exactamente dos valores veritativos que se den por grados "y consiguientemente sin exclusi;n mutua" difiere del que, en vez de eso, lo que haya sean otros tantos valores intermedios. Son iguales las dos descripciones, no cambiando nada cuando se escoge una de ellas en lugar de la otra. De ah1 que la opci;n haya de estar determinada por la conveniencia o elegancia expositiva. Much1simo ms problemtico es el requisito 4, el de asignar a la negaci;n y a la conyunci;n las funciones clsicas. Ante todo, si hemos optado, ya sea por abandonar o matizar el principio de exhaustividad, ya sea el de exclusividad, ya el de dualidad de valores, nos toparemos con opciones abiertas que estaban cerradas dentro de los supuestos clsicos. Si "por tomar un ejemplo de lo ms sencillo" suponemos tres valores, plant)ansenos mCltiples opciones nuevas, tales como: la de tomar o no a ese valor como designado (o sea tal que  Z ser uno de los valores tales que un esquema ser tautol;gico sysQNh R' ##`sys' abrevia a `si, y s;lo si,'.Q sus instancias toman siempre uno u otro de esos valores); la de que, cuando las letras esquemticas tomen valores clsicos, el resultado de afectarlas por la conyunci;n o por la negaci;n haya o no de tomar tambi)n un valor clsico, etc. Por otra parte, hay una raz;n incluso de mayor peso para poner muy seriamente en tela de juicio el requisito 4, a saber: nada prueba que sean l1citas sendas descripciones de Z finidas, ` la negaci;n' y ` la conyunci;n'. Es, en efecto, tan improblemtico que hay s;lo una negaci;n y s;lo una conyunci;n? C;mo se puede argumentar convincentemente a favor de tal unicidad? Una faceta del problema es la de si la part1cula `no' posee un comportamiento como  ZR el de la negaci;n clsica, ` ', la cual tiene, entre otros, este rasgo: de la premisa  pU p  (siendo  ZI `U' una notaci;n de `y') se sigue la conclusi;n  q . A tenor de ese rasgo, quienquiera que se aventure a preferir asertos como `Llueve y no llueve' se compromete, para ser consecuente, a admitir cualquier conclusi;n, por ms absurda que sea. Ahora bien, cabe ante todo constatar lo ampl1sima que es la gama de tales asertos. Podr1a compilarse un grueso volumen que reunie Z ra asertos que son as1 (al menos en su traducci;n usual).vv j R) ##Para cada uno de tales asertos puede acudirse a alguna maniobra hermen)utica que permita desembarazarse del caso o asestarle una interpretaci;n adecuadamente caritativa (unas veces el autor es un poeta, otras un m1stico, otras no est hablando literalmente, otras 8); en unos cuantos de tales casos se podr atribuir a falta+o.,, de ilustraci;n o inteligencia del autor de la prolaci;n; pero son tant1simos y vienen de autores tan variados "y a menudo tan distinguidos" que resulta duro de tragar el precepto de obligatoriamente tener que acudir en todos los casos a uno u otro expediente as1. Hay, pues, una raz;n para pensaro.,,ZZ que la part1cula `no', en muchas de sus ocurrencias ms t1picas, no corresponde a la negaci;n clsica. De hecho hay buenos motivos para emanciparse del dogma de que, si existe una locuci;n en el lenguaje natural que corresponda a la negaci;n clsica, )sa ha de ser la part1cula `no'. Desgraciadamente no pocos l;gicos han sido v1ctimas de ese dogma y, atenazados por )l, o bien se han sentido constre9idos a permanecer adictos a la negaci;n clsica como Cnica negaci;n, o bien han ca1do en el extremo opuesto de negar que exista en el lenguaje natural algo con los rasgos de la negaci;n clsica. No es, empero, dif1cil de encontrar ese algo. Todos los idiomas conocidos, poco o mucho, por el autor de estas l1neas contienen, adems de la mera negaci;n, `no', alguna locuci;n reforzativa como en castellano `en absoluto', en lat1n `nequaquam' u `omnino', en alemn `ganz und gar', en franc)s `du tout', en ingl)s `at all', en griego `o %'' o `!4+ o', en italiano `affatto', etc. Podemos constatar una serie de hechos. En primer lugar, abundan en muchos escritores y locutores normales y corrientes de sendos idiomas los asertos del tipo  Z  pUNp  (donde `N' es una mera notaci;n por escrito de `no') sin que jams "o rar1simamente"  Z se registre en cambio  pUp , donde `' es una notaci;n de `no 8 en absoluto' o de cualquiera  Z de las expresiones correspondientes reci)n enumeradas de esos idiomas.vj R ##Hay, pues, indicios de que unos cuantos locutores "tal vez la mayor1a" ven como no absurdo el afirmar que ciertas situaciones se dan y no se dan, aunque nunca caen en afirmar que tales situaciones se dan y no se dan en absoluto. En segundo lugar, esas dos negaciones comparten muchos otros rasgos: de la negaci;n de determinada 1ndole de una disyunci;n cabe inferir la conyunci;n de sendas negaciones "de esa misma 1ndole" de los disyuntos, y viceversa; cabe tambi)n atribuir a la mayor1a de los locutores una adhesi;n  Zq a los principios de tercio excluso ( pVNp  y  pVp  [siendo `V' una escritura de la part1cula disyuntiva `o' "luego considerar) el problema de la definibilidad clsica de esa disyunci;n])  ZY y de no contradicci;n ( N(pUNp)  y  (pUp) ); en tercer lugar, hay indicios para atribuir a esa locuci;n del idioma, el `no 8 en absoluto', un comportamiento muy parecido al de la negaci;n clsica, aunque con menor sistematicidad. No es, pues, menester optar entre tener negaci;n clsica y dar a la part1cula `no' un tratamiento no clsico, sino que los fen;menos del lenguaje natural nos invitan a buscar una v1a media que reCna las ventajas de tener una negaci;n clsica y las de no atribuir a la part1cula `no' un ajuste a todas las prescripciones propias de esa negaci;n. Por otro lado, tambi)n hay motivos para desconfiar de la tesis de que hay una sola y Cnica conyunci;n, que es la clsica. Hay muchos indicios de que la lengua natural tiene locuciones conyuntivas que no acarrean "o no forzosamente siempre" una connotaci;n temporal u otra carga intensional, pero que son sentidas, no obstante, por el locutor como claramente diversas del mero `y'; locuciones como, p.ej., `no s;lo 8 sino tambi)n'. Puede, s1, atribuirse la diferencia de significaci;n a particularidades estil1sticas de las locuciones o a otros factores, pero no es tampoco irrazonable sospechar que hay algo ms, algo distinto, y que la pl)tora de conyunciones tiene algo que ver con la pluralidad o multiplicidad de grados o de valores veritativos no clsicos."ho.,,ZZԌMi balance de esta discusi;n del punto 4 es que hay razones de algCn peso para poner muy fuertemente en tela de juicio esa correspondencia entre la negaci;n del idioma  Z natural y la de LC , e igualmente con respecto a la conyunci;n; hay motivos para ensayar alternativas, como la de hacer corresponder a la negaci;n clsica, no el mero `no', sino la part1cula discontinua `no 8 en absoluto', y para estructurar el clculo l;gicosentencial de tal manera que d) cabida a negaciones y conyunciones no clsicas.  Z Queda el punto 5, relativo a las definiciones. Topmonos aqu1 con un embarras  Z du choix, una vez que hemos dado algunos de los pasos que he ido sugiriendo en los prrafos precedentes. Si tenemos varias negaciones y varias conyunciones, ya no resulta tan obvio c;mo hayamos de definir la disyunci;n. Ya no resulta ni siquiera obvio que haya de haber una sola disyunci;n. Idem con relaci;n al condicional y al bicondicional. Es ms, hay buen1simas razones "paralelas a las ya presentadas a prop;sito de la conyunci;n" para sospechar  Z que se dan de hecho varios condicionales y varios bicondicionales.s j RG ##Siendo hoy tan sumamente nutrida y abigarrada la discusi;n sobre el condicional, sobre qu) relaciones haya o deje de haber entre el `si' de la lengua natural y el `D' del clculo clsico o de otros clculos formales, par)ceme que ser1a desbordar con much1simo los l1mites razonables de este art1culo el merodear por esos terrenos tan erizados de obstculos. Mi prop;sito, a fuer de l;gico, no es el de buscar un ajuste perfecto entre los clculos y el funcionamiento normal en la lengua natural (aparte de que eso, literalmente tomado, tiene escaso sentido: lo que con ese ajuste se quiere decir es que, si leemos de cierta manera nuestras constantes l;gicas, nos comprometemos a atribuirles a los locutores, segCn c;mo argumenten "o segCn que rechacen tales argumentos", en unos casos correcci;n l;gica, en otros, sea muchas ilogicidades, sea usos muy aberrantes de las part1culas en cuesti;n). Lo que s1 busco, en cambio, es alguna correspondencia por idealizada o regimenta R da que sea, o mejor un hacer las veces que pueda verse como paradigmtico y del cual ser1an desviaciones "en funci;n de los contextos de elocuci;n" los casos en que no se aplique, o se aplique menos.s Como evidentemente no hay aqu1 lugar para adentrarse en la discusi;n pormenorizada de qu) correspondencias quepa postular entre esas diversas part1culas del idioma y las constantes de un clculo l;gico, c19ome a un par de observaciones sobre una definici;n usual del  Z condicional,  pDq , como   (pU q) . Supongamos que no 1bamos tan descaminados cuando atribuimos a muchos locutores el afirmar asertos como `Llueve y no llueve' "cuando hay garCa, p.ej. Si eso es as1, cabe sospechar que esos locutores juzgan que, a menos que un motivo contextual lo impida u obstaculice, basta la verdad parcial, la ausencia de total falsedad, del hecho de que llueve para afirmarlo, e igualmente con respecto al de que no llueve. A tenor de esa consideraci;n, la presencia de un hecho en algCn grado "o al menos su presencia en cierto grado que alcance determinado umbral" ser condici;n suficiente para la afirmabilidad. Ahora bien, sigamos atribuyendo a los locutores un comportamiento racional como el normado  Z por LC : pensemos que admiten que, de que sea verdad   p , se deduce que es verdad   (pUq) :  Z cuando admiten o aceptan que no llueve, podrn inferir fcilmente esto:  No: llueve y la nieve  Zv no es negra ; si a la vez admiten que llueve y aceptan la correcci;n del modus ponens para el condicional y lo definen de la manera indicada, llegarn a la conclusi;n de que la nieve es negra; y a cualquier otro disparate. Ahora bien, si disponemos de varias negaciones, de varias conyunciones, de varias disyunciones, cada una con su respectiva lectura en lengua natural (aunque la correspondencia entre las lecturas y los signos sea idealizada, estilizada, forzada incluso hasta cierto punto, pero con tal de que no sea tan chocante y prcticamente inviable como en el caso clsico, cuyas casi inextricables dificultades hemos examinado), las cosas cobran un cariz mejor, ofr)  o.,,ZZԮcense otras perspectivas de definici;n; definici;n idealizada, regimentada, que prescinda de muchos contextos, s1, pero que no est) compelida a cortar tan por lo sano como tiene que  Z hacerlo el adepto de LC , quien ha de tildar de irracional o de insusceptible de lectura literal  Z much1simos de los asertos ms comunes, acaso la mayor1a.1N j RT ##Estas pautas no conllevan convertir a la l;gica en psicolog1a ni en antropolog1a ni en lingG1stica, ni siquiera en versiones idealizadas de tales disciplinas. Podr1a conjeturarse que la humanidad, o el 99'99% de la misma, est sumida en espantosos errores l;gicos, que la gente infiere muchas o las ms veces il;gicamente, etc. Conque cada uno es muy due9o de liarse la manta l;gica a su cabeza y sostener, erre que erre, que son  R verdaderos, totalmente verdaderos, los cinco supuestos enumerados de los adeptos de LC "los cinco supuestos  Rn que sirven para expenderle a la l;gica clsica el calificativo de `la l;gica bivalente' (e incluso de la l;gica [sentencial] a secas)", cualquiera que sea el empleo de unas u otras part1culas en el lenguaje natural. Eso es evidentemente posible. Mas hacen falta razones fuertes y convincentes para adoptar tal actitud. Si uno de los resultados de la opci;n es el de atribuir unas dosis elevad1simas de irracionalidad a casi todos nuestros compa9eros de especie coetneos y pasados, y a nosotros mismos en nuestro hablar normal, surge una conocida paradoja: resulta milagroso que hayamos podido izarnos al nivel de comprensi;n l;gica, que hayamos podido escaparnos de la cueva oscurantista e iletrada, que podamos entendernos y hacernos entender a pesar de todo, y transmitir nuestra reci)n ganada ilustraci;n o desilusi;n. Los discontinuismos o rupturismos siempre resultan problemticos, porque estn siempre confrontados con la dificultad de dar cuenta de su propia ruptura, y hacerlo de modo que la misma no resulte un injustificado salto en el vac1o.1 Finalmente, si admitimos ms valores veritativos, ms de una negaci;n, ms de una conyunci;n, ms de una disyunci;n, ms de un condicional, etc, por qu) no admitir tambi)n algCn functor que no pueda definirse ni siquiera con esas negaciones, conyunciones, disyunciones, condicionales etc, pero que en cambio sea tal que con su ayuda s1 puedan definirse nuevas conectivas de esas familias? Si entendemos los valores intermedios como grados, eso parece muy natural: puede haber, en efecto, adf;rmulas de matiz veritativo que aludan a algCn grado o algCn umbral especialmente destacado "como ser1a p.ej. un umbral m1nimo de verdad. Mientras pensbamos que un enunciado que no sea totalmente verdadero ha de ser totalmente falso, no cab1a introducir ningCn functor as1 no pleonstico. Mas, si hay grados de verdad, entonces no s;lo puede reportar excelentes servicios esa introducci;n, sino que puede que resulte indispensable a ciertos efectos. Adems, por medio de todos esos recursos cabe dar un tratamiento puramente l;gico de las inferencias que involucran comparativos. Cuando Quine propone su bien conocida concepci;n sobre las relaciones entre la gramtica y la l;gica, perctase de que, a tenor de la misma, ser1a preciso tener constantes l;gicas como `ms 8 que', para poder dar cuenta del carcter estrictamente l;gico de la inferencia: `Mar1a es ms morena que Isabel', `Isabel es morena'  `Mar1a es morena'. Uno de los servicios de ciertas l;gicas multivalentes estriba en, por vez primera, posibilitar el cumplimiento de ese programa de Quine sin la correcci;n  Z tremendamente ad hoc a que lo somete ese fil;sofo para mantener su adhesi;n a LC .K j R]% ##V)anse al respecto mis trabajos: Contribuci;n a la l;gica de los comparativos , apud Lenguajes naturales  R0& y lenguajes formales II , comp. por Carlos Mart1n Vide, Barcelona: Universitat de Barcelona, 1987, pp. 33550;  R' y Semntica veredictiva y l;gica infinivalente , apud Symposium Quine , comp. por Juan Jos) Acero & Toms Calvo Mart1nez, Granada: Universidad de Granada, 1985, pp. 25156.o.,,ZZԌ ك  Zg  2." Algunos jalones en el desarrollo de las l;gicas multivalentes ă Dejando de lado los precedentes, siempre problemticos, cabe hacer remontar al a9o 1920 la puesta en pie del primer sistema de l;gica multivalente. En ese a9o ukasiewicz expone su sistema de l;gica trivalente.  Z He aqu1 las tablas del sistema trivalente de ukasiewicz:g wj R ##Los trabajos originales de Jan ukasiewicz donde figuran tanto sus descubrimientos l;gicos cuanto sus consideraciones filos;ficas a favor de los mismos aparecen traducidos al ingl)s en la antolog1a comp. por  R< Storrs McCall  Polish Logic: 19201939 , Oxford: Clarendon, 1967.g ` ddx !ddx~x B~B Np p# pUq 1  0##pVq 1   0 #33pq  1    0BZ      ~B 0X 1X X 1X X 0X X 1X 1 X 1 X  X 1 X  X 0BZ      Z   B      0  1       1  1  BZ   Z   X B 1 0  0 0 0  1   0    1  1  1)Z    )` Es caracter1stico de ese sistema "y de todos los que despu)s elabor; ukasiewicz, as1 como de casi todos los otros sistemas l;gicos multivalentes durante muchos a9os" el que haya en )l un solo valor designado, el 1. Los sistemas l;gicos de ukasiewicz (que forman una serie infinita, que va del trivalente a uno infinivalente) tienen, todos ellos, una sola negaci;n, la negaci;n de espejo, con este rasgo: la negaci;n de un enunciado estar exactamente tan pr;xima al valor mximo cuan pr;ximo est) ese enunciado al valor m1nimo, y viceversa.  Z Valen para tal negaci;n, `N', las leyes de DeMorgan ( N(pUq)  equivale a  NpVNq ), involuti Z vidad ( p  equivale a  NNp ) y lo que luego se ha llamado el principio de Kleene ( pVNpV Z (qUNq)  equivale a  pVNp , e.d. "para expresarlo en t)rminos intuitivos" cualquier instancia del principio de tercio excluso es por lo menos tan verdadera como una contradicci;n, sea la que fuere); sin embargo el principio de tercio excluso no es teoremtico en esos sistemas, pues, habiendo valores intermedios entre la verdad [total] y la falsedad [total], habr enunciados  Z que tengan o puedan tener uno de tales valores; mas, cuando un enunciado,  p , tenga un  Z valor intermedio, su negaci;n  Np  tambi)n tendr un valor intermedio, por el carcter de espejo de la negaci;n; ahora bien, como ningCn valor veritativo es designado salvo el mximo,  Z tanto  p  como  Np  tendrn valores no designados; por otra parte, la disyunci;n toma como valor veritativo el ms alto de entre los valores veritativos de sendos disyuntos; y, al no ser  Z designado ni el valor de  p  ni el de  Np , no podr ser designado el valor de  pVNp . Como  Z} en ese sistema  pVNq  es equivalente a  N(qUNp)  "en el sentido de mutua intercambiabilidad sin merma del valor veritativo", son equivalentes entre s1 los principios de tercio excluso y de no contradicci;n. As1 pues, tampoco )ste Cltimo es teoremtico. Por otro lado, los sistemas multivalentes de ukasiewicz tienen todos como teoremtica  Z# esta versi;n del esquema de Cornubia,  p.Npq , donde `' es la implicaci;n, que en esos sistemas viene considerada como id)ntica al condicional. La idea que preside la  Z% construcci;n de ese functor de implicaci;n es que  pq  tenga el valor mximo s;lo siempre  Z& que el valor de la ap;dosis,  q , sea al menos tan elevado como el de la pr;tasis,  p , y que& o.,,ZZ en caso contrario tenga un valor tanto ms pr;ximo al m1nimo (al valor que represente la  Z Falsedad total) cuanto mayor sea la distancia entre los valores de  p  y de  q .  ZX En virtud del modus ponens y del principio de Cornubia se podr deducir cualquier absurdo "incluida, pues, una falsedad total" cuandoquiera que se tengan, por separado, dos asertos, uno de los cuales resulte ser una negaci;n del otro. Dicho con otras palabras, los  Z- sistemas de ukasiewicz no son paraconsistentes. - R ##Adems, los sistemas de ukasiewicz han de abandonar "sin que se vea la motivaci;n sino tan s;lo para apencar con lo que resulta de las tablas de verdad postuladas" un mont;n de principios Ctiles, como  RR  pNpNp  (Clavius),  p(qr).pUqr  (importaci;n),  p(qr).pq.pr  (autodistributividad),  R*  pqU(qr).pr ,  p(pq).pq  (de )ste hay que decir, no obstante, que tambi)n ha sido rechazado recientemente por algunos relevantistas); mas es abandono de este Cltimo principio no acerca ni poco ni mucho a los sistemas de ukasiewicz a ningCn estatuto pr;ximo al de un sistema relevante; impide tal acercamiento  R la validez en los sistemas de ukasiewicz del principio Verum e quolibet,  p.qp  y del de exportaci;n,  R~ a saber  pUqr.p.qr . En 1952 otro l;gico polaco, Bolesaw Sobociski, propuso un sistema de l;gica trivalente "que es probablemente tambi)n el primer sistema paraconsistente despu)s del propuesto por Jakowski en 1948", en el cual son designados tanto el valor mximo (1) como el interme Zg dio (). He aqu1 las tablas veritativas de ese sistema: g 8 R| ##La informaci;n acerca de este sistema de Sobociski est tomada del libro  ManyValued Logic  de Nicholas Rescher, citado ms abajo (McGrawHill, 1969, pg 342).  !ddx~x Addx x BZ    B NpH pH # pUqN 1N N 0N ##pVqN 1N  N 0 N #33pq N 1 N  N 0BZ      B 0 1  1 1 0  1 1  1    1  0  0BZ      Z   N B    1  0  1   0    1    0BZ   Z   B 1\ 0\ \ 0\ 0\ 0\ \ 1\ 0 \ 0 \  \ 1 \ 1 \ 1)Z   ) En este sistema son teoremticos los principios de no contradicci;n y de tercio excluso, as1 como el de identidad; tambi)n el de Clavius y muchos cuyo sacrificio, en los sistemas de ukasiewicz, ven1a a ser como un subproducto de los resultados buscados. Es ms, ese sistema de Sobociski tiene un rasgo que lo coloca en la vecindad de las l;gicas relevantes y es que, segCn lo demostr; su propio autor, no vale en )l ningCn esquema teoremtico en el cual haya una letra esquemtica que tenga una sola ocurrencia. Lo malo es que de ah1 van a derivarse consecuencias funestas: aband;nanse los principios de simplificaci;n y de adici;n  ZZ (respectivamente  pUqp  y  p.pVq ) e incluso las reglas de inferencia correspondientes, a saber: pUq  p ; p  pVq. Eso hace que el sistema de Sobociski, ms que relevantista, sea uno del grupo conceptivista. (Entre par)ntesis, uno de los resultados de todo eso es que  Z? se pierde la validez de la regla pVqr  pr; pi)rdese tambi)n la correcci;n del secuente : pVqr 8 pr, que cabe leer as1: de que haya una inferencia correcta de la conclusi;n r  a partir de la premisa p o q  se deriva que hay una inferencia tambi)n correcta de r  a partir de la premisa p . La p)rdida de un secuente como )se es desproporcionadamente enorme como precio incluso de la cosecha que cabe esperar con el sistema considerado.) o.,,ZZԌQue el sistema de Sobociski es paraconsistente resulta palmario: no vale en )l el principio de Cornubia ni ninguno similar, ni tampoco la regla de Cornubia, a saber: p, Np  q. Siendo el segundo sistema l;gico paraconsistente, coincid1a curiosamente con el primero "que, segCn lo acabo de indicar, fue el del tambi)n l;gico polaco Jakowski" en sacrificar algCn principio esencial de la conyunci;n; s;lo que lo sacrificado por Jakowski era, no la regla de simplificaci;n, sino la de adjunci;n: p, q  pUq. Hay entre ambos sacrificios como una cierta simetr1a: para Sobociski puede ser verdadera una f;rmula conyuntiva sin que sea verdadero, en absoluto, uno de los dos conyuntos; para Jakowski pueden ser verdaderos ambos conyuntos sin que sea, en absoluto, verdadera la conyunci;n de ambos; para Jakowski la verdad por separado no conlleva la verdad conjunta, mientras que para Sobociski la verdad conjunta puede darse sin que se d) la verdad por separado de uno de los elementos en ella conjuntados. En uno como en otro caso, trtase de resultados poco o nada deseables como no sea desde un punto de vista dif1cil de justificar y de motivar filos;ficamente. (Por cierto, la l;gica discusiva de Jakowski no vino propuesta como multivalente, pero de hecho hay un teorema probado en virtud del cual cualquier l;gica sentencial tiene una semntica multivalente con respecto a la cual es correcta y completa, e.d. para cualquier clculo sentencial hay una estructura constituida por un conjunto de al menos dos valores de verdad, sobre el cual estn algebraicamente definidas las operaciones correspondientes a las conectivas del clculo  Z en cuesti;n, y que es, en el sentido t)cnico usual, caracter1stica del clculo dado; el nCmero de tales valores puede ser infinito, eso s1; a efectos prcticos s;lo se habla de l;gicas multivalentes cuando las estructuras semnticas han motivado el clculo, en lugar de que se hayan encontrado despu)s cuando uno andaba en pos de alguna semntica para un clculo predefinido en funci;n de razones sintcticas; ese distingo es, evidentemente, pragmtico nada ms.) Los a9os sesenta, tan fecundos en tantas cosas, fueron tambi)n inmensamente fruct1feros para las l;gicas multivalentes. Dos son los principales saltos. Uno de ellos es la publicaci;n  Z del libro de Rescher  ManyValued Logic  por McGrawHill en 1969. Llegaba a finales del decenio, aunque llevaba ya varios a9os escrito. Por vez primera una editorial importante pon1a ante el gran pCblico una exposici;n detallada, asequible mas rigurosa, del panorama de las l;gicas multivalentes, con enorme profusi;n de sistemas, que ven1an estudiados comparativamente en diversas facetas sintcticas y semnticas. Lo que convirti; a ese libro en un clsico es que en )l los desarrollos t)cnicos estaban claramente al servicio de una dilucidaci;n filos;fica, inseparable de ellos: discCtense en esa obra decenas de versiones de los principios l;gicos tradicionales, unas sintcticas, otras semnticas, sus motivaciones, su cumplimiento o no en unas u otras l;gicas multivalentes, y el entronque entre todo eso y diversas concepciones de la verdad l;gica. Adems el libro contiene, entre otras cosas, una prueba de que muchos sistemas l;gicos multivalentes pueden servir para articular sus propias metateor1as l;gicas, contrariamente al comCn prejuicio de que la metal;gica ha de ser forzosamente clsica. Menci;n especial merece aqu1 un aserto del libro (pg 163) a prop;sito de una posible reelaboraci;n del sistema trivalente de ukasiewicz, que s;lo difiera del original en, por un lado, tomar como designado tambi)n al valor  y, por otro lado, en que, cuando la pr;tasis  Z' tiene valor  y la ap;dosis 0,  pq  tendr valor 0; a9adamos "d1cenos Rescher" a ese sistema un functor, `T', inventado en Supecki, cuando en 1936 brind; una extensi;n completa del  Zt) sistema trivalente de ukasiewicz [ completa en el sentido de que en ella son expresables o definibles todas las operaciones que pueden darse en la estructura semntica considerada, e.d. para cada operaci;n binaria, , tal que en esa estructura, para cualesquiera elementosV+ o.,,ZZ o valores veritativos, xN y x, se tiene que xNx pertenece tambi)n a la estructura, hay en el sistema l;gico una conectiva, , no forzosamente primitiva, tal que, para cualquier valuaci;n  Z v, y f;rmulas dadas  p ,  q , se cumple esta ecuaci;n: v(pq)=v(p)v(q)]; vemos en seguida  Z que para cualquier  p  se tendr la tautolog1a  TpUNTp , e.d. el sistema ideado por Rescher es negacionalmente inconsistente. Y a9ade nuestro autor (ibid):  R= However this inconsistency is in significant measure harmless. Specifically, it does not mean that any arbitrary formula is a tautology in the system, nor does it mean that the  R negation of every formula is a tautology 8A  Aunque tal posici;n no se condice con todas las prescripciones metal;gicas de Rescher en ese libro, esa reci)n citada declaraci;n constituye, para el momento en que se escribi; e incluso para aquel en que se public;, una postura excepcionalmente favorable a la paraconsistencia; lo que me interesa destacar es c;mo esa actitud favorable a la paraconsistencia ven1a del estudio y cultivo de l;gicas multivalentes, mientras que aun en el correr posterior de la investigaci;n no siempre se ha querido encontrar parentesco entre paraconsistencia y multivalencia (todav1a hoy se suele caer en la confusi;n de que cualquier l;gica multivalente tendr1a  Z un solo valor veritativo designado, obligndose as1 a entronizar la regla de Cornubia).  RA ##Otro aserto del libro de Rescher que deseo comentar figura en la pg 211 y es algo titubeante. Rescher  R dice que la indemostrabilidad del esquema  p(qUNq)Np  en sistemas como el de ukasiewicz trivalente has been construed to suggest that the presence of logical contradictions in a corpus of theory does not establish its falsity8. However, the ideas that have to date been proposed along these lines have not been worked out in detail sufficient to underwrite a favourable evaluation of a point of view departing so radically from established practices of thought about the nature of scientific knowledge.A  Saltan a la vista las reticencias de Rescher a ver en la puesta en pie de sistemas multivalentes un aval para la aceptaci;n de teor1as contradictoriales. Y, si lo que tomamos como patr;n es un sistema similar a los de ukasiewicz, lleva naturalmente raz;n, pues entronizan la regla de Cornubia. Lo que permite introducir la noci;n de contradicciones verdaderas (aparte de razones filos;ficas) no es el fallo de esa versi;n peculiar  RM del principio de contraposici;n (el citado esquema  p(qUNq)Np ), desde luego (siendo antes bien ese fallo un defecto ms de los sistemas de ukasiewicz), sino la posibilidad de tener l;gicas (con o sin semntica multivalente apropiada) sin la regla de Cornubia. Pero ms que las reticencias "que vienen ampliamente confirmadas en otros lugares del libro" es de destacar aqu1 el problema mismo, el que se aborde la cuesti;n de si la elaborabilidad de ciertos sistemas multivalente con determinadas caracter1sticas y que cumplan muchas prescripciones metal;gicas razonables puede brindar un camino a la paraconsistencia (a la "segCn lo dice  R? Rescher" [autorizabilidad de la] presencia de contradicciones l;gicas en un corpus de teor1a ). Y creo que  R en el lugar anteriormente citado el propio Rescher ha probado que s1.  Si la publicaci;n del libro de Rescher constitu1a un notable paso adelante ms que nada por su relevancia filos;fica, el otro gran paso de los sesenta fue puramente t)cnico en sus or1genes, aunque tambi)n pre9ado de significaci;n teor)tica. En 1965 el ingeniero electr;nico Lofti Zadeh public; el primero de sus luego numerosos trabajos para sentar las bases de una teor1a difusa de conjuntos. (Ideas as1 ya hab1an sido propuestas por otros, e incluso apuntan en parte en el reci)n citado libro de Rescher; Zadeh aport; una dedicaci;n al tema y el inicio de una fecund1sima labor que permit1a sacarle punta a la idea en ampl1simos campos, tanto de la matemtica como de otras ciencias.) Lo esencial de una teor1a de conjuntos difusos estriba en que se toma como funci;n caracter1stica de un conjunto o cCmulo, no a una cuyos valores o imgenes est)n en el dCo # o.,,ZZ {1,0} clsico, sino a una cuyas imgenes est)n en un cCmulo mayor, como puede ser el interva Z lo [0,1] de los nCmeros racionales o en el de los reales o en otro.+  Rr ##Los dos art1culos pioneros de Zadeh son: Fuzzy Sets ,   Information and Control  8, pgs 33853; y Fuzzy  RE Sets and Systems ,  Proc. Symp. on System Theory , pgs 2939, ambos de 1965. La inmensa bibliograf1a  R posterior acerca de la teor1a y las aplicaciones de las fuzzy logics desarrolladas por Zadeh y por sus disc1pulos directos o indirectos desborda tanto los l1mites de lo aqu1 mencionable, aun meramente de pasada, que me abstendr) de citar cualquier otra publicaci;n al respecto. S)ame l1cito apuntar no ms que dentro de esa amplia corriente, en la que figuran matemticos de diversas disciplinas y especialidades, estudiosos de la cibern)tica, etc etc, ocupan un papel muy destacado varios investigadores de habla hispana; p.ej., el grupo de Enrique Trillas, al que pertenecen entre otros L. Valverde, T. Riera y R. L;pez de Mntaras.+ Los planteamientos de Zadeh "y de cuantos investigadores, sobre todo matemticos, puede decirse que toman como pauta las orientaciones de Zadeh" son en principio informales, en el sentido de alejarse de los temas clsicos de teor1a de modelos y ms aCn de teor1a de pruebas "temas como la axiomatizabilidad, completez, robustez (o correcci;n) de sistemas, relaciones entre clculos de secuentes y teor1as l;gicas en sentido tradicional, etc" para dedicarse casi en exclusiva a desarrollos centrados en las aplicaciones. No obstante, recientemente se han producido varios estudios de carcter ms teor)tico. La consideraci;n de los mismos desborda el marco del presente art1culo. Para cerrar esta secci;n he de rese9ar una l1nea de desarrollo de l;gicas multivalentes  Z que se ha venido perfilando desde 1975: la de las l;gicas transitivas.) $ R ##Una exposici;n clara y atinada, con una apreciaci;n cr1tica, hllase en el art1culo de Newton da Costa, As R pectos de la filosof1a de la l;gica de Lorenzo Pe9a ,  Arbor  N 520, abril de 1989.) En estas l;gicas el nCmero de valores veritativos es infinito. La idea central para proponer modelos de este tipo de l;gicas es )sta. Como primer paso, tomemos como valores de verdad todos los nCmeros reales en el intervalo entre 0 y , ambos inclusive, siendo  infinita falsedad y 0 total falta de falsedad, e.d. plena verdad. Tomemos al nCmero 1 como equidistante o punto medial, y  Z hagamos corresponder a cada nCmero r, como inverso suyo, 1/r. Esa funci;n del  inverso  ser la que asignemos a la negaci;n [simple]; expresado un poco menos informalmente: para toda  Zu valuaci;n, v, y toda f;rmula  p : v(Np)=1/v(p). A9adimos un functor de verdad total , que  Zh leemos: `Es totalmente cierto que', `H', tal que v(Hp)=0 si v(p)=0, y en caso contrario = .  Z_ Consideramos designados todos los valores salvo el . La disyunci;n toma el valor menor,  ZV la conyunci;n el mayor (e.d. v(pUq)= Ómax {v(p),v(q)}, y para `V' reemplazamos ` max ' por  ZM ` min '). Llegados a este punto, tenemos un sistema semnticamente definido con una serie de peculiaridades. En )l valen los principios de tercio excluso y de no contradicci;n tanto  Z para la negaci;n simple como para una negaci;n fuerte, `', definida as1:  p  abrevia a  Z  HNp . Si definimos el condicional, `D', del modo clsico ( pDq  abrevia a  pVq ), ese functor tiene todas las caracter1sticas clsicas. Pero nos falta un functor de implicaci;n, uno que venga a decir que la ap;dosis es al menos tan verdadera como la pr;tasis. Lo a9adimos:  Zf ser `', tal que v(pq)=1 sys v(p)v(q), y en caso contrario = . Esta implicaci;n es bivalente, en cierto sentido (a diferencia de la de ukasiewicz): s;lo admite o un cierto y prefijado  ZN valor designado, o, si no, falsedad total. Si definimos  pIq  como  pqU.qp  (alternativamen ZE te, tomar1amos `I' como primitivo y definir1amos  pq  abr.  pUqIp ), tenemos este ramillete  Z< de resultados demostrablemente tautol;gicos:  pINNp ,  pUNp.qVNq ,  p.pq ,< o.,,ZZ  Z  N(pUq)I.NpVNq ,  Hpp ,  pNp ,  pqU(qr).pr ,  N(pVq)I.NpUNq ,  (pUq)I. Z pVq ,  (pVq)I.pUq ,  pVNp ,  pVp ,  N(pUNp ,  (pUp) ,  pqD.pDq ,  Z  pIq.pUrI.qUr ;  pq.pUr.qUr ,  pq.pVr.qVr ,  pqUpq ;  pIq.rIqI.rIp ;  Z  pIq.pVrI.qVr ;  pIp.qIq ;  p(pq).pq ,  Nppp ;  pqN(pUNq) ;  Z  pq.pr.p.qUr ;  p(qr).pq.pr ;  pq.rp.rq ;  pq.qr. Z pr . Asimismo valen estos principios de abducci;n:  pNpNp ,  Nppp ,  Z Ԛ ppp ,  pDNpDNp ,  pDpDp ,  NpDpDp ,  pDpDp . Definiendo  pq  como  Z  pDqU.qDp , se tendr  pp , versi;n atenuada de la involutividad. (Tambi)n se tiene,  Z claro  pNNp .) Valen las reglas de inferencia (sendas versiones del modus ponens): p, pDq  Z q; p, pq  q. Ev1tase, en cambio, la tautologicidad de los esquemas:  p.qp  ;  Z  pUNqr.pUNrq ;  p(qr).q.pr ;  p.pqq ;  p(q.pr).qr ;  Z  p.pp ;  pq.p.pq ;  pq.q.pq ;  pUqr.p.qr ; ninguno de los  Z cuales es compatible con la idea de que  pIq  sea una f;rmula verdadera sys es exactamente tan verdadero que p como lo sea que q. Este sistema no es s;lo paraconsistente sino contradictorial, ya que hay un cierto  Z esquema tal que contiene como tautolog1as ese esquema y su negaci;n simple:  pIp  y  N(pIp) .  Z Tambi)n tenemos:  pIpIN(pIp) . Hay una raz;n para no estar satisfechos con el resultado, y es que, si bien la l;gica que hemos obtenido es genuinamente infinivalente, no contiene ningCn vocablo que exprese algo as1 como `ms bien', `bastante', `un tanto', `muy', etc. Otra raz;n es que (segCn lo apunt) en el penCltimo prrafo de la 1) hay conyunciones copulativas que no son semnticamente reducibles a `y', o sea que no vienen adecuadamente capturadas por `U'. P.ej. la part1cula discontinua `no s;lo 8 sino [que] tambi)n'" en la cual parece que los conyuntos interactCan en el sentido de que el grado de falsedad resultante podr ser mayor que los grados de falsedad de sendos conyuntos. Representemos esa conyunci;n copulativa ms fuerte como `': aseveran Z do  pNpp8p , donde para cada in  pi  tiene un valor de verdad infinitamente ms falso que el valor m1nimo (el cual en nuestra representaci;n es la Verdad [total]), se estar  Z haciendo un aserto cuyo grado de falsedad ser, c%teris paribus, tanto mayor cuantos ms  Z conyuntos haya (y no s;lo cuanto menos verdaderos sean). La introducci;n de esa supercon Z yunci;n nos permite obtener, como definidos, muchos functores de matiz al)tico. En el  Z intervalo [0,] podemos tomar v(pq)=Óv(p)+v(q). Este functor tiene los rasgos siguientes: conmutatividad, asociatividad, elemento neutro (el elemento m1nimo, 0); adems,  es distributivo con respecto a los functores V y U. Hay todav1a una raz;n para pensar que est incompleta nuestra busca de operaciones: para pasar al clculo cuantificacional necesitaremos una operaci;n infinitaria que venga asignada como imagen semntica del cuantificador universal; esa operaci;n tiene que ser la que  Z# d) la menor cota superior, o sea el supremo . Pero el supremo de un conjunto de asertos todos verdaderos "en algCn grado" puede que sea , la falsedad total. Para evitar eso tomamos como dominio de valores de verdad a uno resultante de incrementar el ya dado a9adiendo, para cada nCmero real r<, un nuevo nCmero hiperreal, nr, infinitesimalmente mayor que r, y para cada r>0 uno infinitesimalmente menor que r, mr. Hay que introducir postulados para extender a los nuevos nCmeros todas las operaciones que tenemos hasta ahora. Lo Cnico que plantea problemas es la superconyunci;n, , pero se  Z* resuelven pagando un bajo precio (p.ej. v(npq)=Óv(n(pq)), siendo n= y siendo m0=0,* o.,,ZZ y nnr=nr, mmr=mr, mnr=mr salvo si r=0, nmr=nr salvo si r=); no entrar) aqu1 en ms detalles t)cnicos. La combinaci;n de esos functores nos permite obtener infinitos functores definidos de matiz al)tico y, adems, lograr que el sistema resultante sea una extensi;n cuasiconservativa de cada sistema posible de l;gica que tenga una matriz caracter1stica con s;lo un nCmero  Z1 finito de valores de verdad. Eso quiere decir que para cada sistema as1 S  hay en el nuestro  Z# un functor de afirmaci;n, `', definible mediante los ya introducidos, tal que  p  es una tau Z tolog1a de S  sys  p  es una tautolog1a del sistema que estamos elaborando.  Z Lo mejor de todo es que ahora podemos tener una constante, `', tal que v()=n  Z~ con estos rasgos: son tautolog1as:   ,  pp ; vale este secuente: Ap sys Ap. `' es el enunciado menos verdadero de los verdaderos, o el ms falso de los que no son del todo falsos. Expresa la verdad meramente infinitesimal, el grado 1nfimo de verdad. Ahora bien, esta l;gica es escalar. En ella todos los valores estn ordenados por un orden lineal. Hay razones para pensar que las cosas no son as1 de sencillas ni mucho menos. Un procedimiento para ir ms all es adoptar una semntica tensorial, una en la que cada valor de verdad sea una secuencia (p.ej. una de infinitos componentes) siendo cada componente uno de los hiperreales que hasta ahora ten1amos. Las operaciones previas se generalizan del  Z modo habitual, y se a9ade un functor nuevo, `B': v(Bp)=v(p) si v(p) no contiene ningCn , y en caso contrario =<,,,8>. Este functor es tambi)n util1simo, y podemos leerlo como `Es en todos los aspectos verdad que' o `Es afirmable con verdad que'. Es obvio que este functor es igual que el operador de necesidad `]' del sistema ms fuerte de las l;gicas modales normales clsicas, S5. Pero hay una diferencia: la regla pBp vale en nuestro sistema sin restricci;n alguna.  Z A este sistema de l;gica se lo denomina ` l;gica transitiva '. Aunque s;lo he presentado aqu1 un Cnico sistema semnticamente definido, hay un nutrid1simo grupo de sistemas muy  Z afines. Todos ellos forman la familia A . Los rasgos comunes son las principales propiedades del sistema que acabamos de examinar, variando s;lo en rasgos secundarios.  ك  ZX a 3." Algunas razones filos;ficas para optar por l;gicas transitivas ă 1) Empl)anse en muy diversas ciencias conceptos susceptibles de aplicarse a las cosas por grados, y tales, pues, que los t)rminos con los que se expresan vienen "no ya en el habla extracient1fica, sino en la de los propios especialistas de la disciplina" afectados por modificadores de intensidad o de atenuaci;n, as1 como tambi)n utilizados en giros comparativos. Hay quien pretende que la ciencia genuina y dura, la f1sica, escapa a ese tipo de recursos difusos. Sin embargo, los bien conocidos problemas suscitados por varias paradojas de la f1sica contempornea puede que sean, al menos en parte, ms fcilmente solventables con ayuda de recursos difusos; p.ej. "entre otros" el de considerar que la posici;n es asunto de grado, e.e. que el que un cuerpo est) en un lugar no es una cuesti;n a la que quepa forzosamente responder con un S1  o un No  absolutos, de suerte que una misma part1cula pueda a veces estar en un lugar ms que en otro, o parcialmente presente en dos lugares (lo cual no quiere decir que una parte de ella est) en un lugar, y otra parte en otro, sino que toda) o.,,ZZ  Z ella est) hasta cierto punto en el primer lugar y hasta cierto punto en el segundo). R ##Una exposici;n de la paradoja de las dos ranuras hllase en A Materialist Critique of Hegel's Concept  RS of Identity Opposites  de Erwin Marquit,  Science and Society , vol. 54 (1990), pgs 14766. Marquit quiere sacar la conclusi;n de que para las part1culas no tiene sentido la atribuci;n de ubicaciones. Una respuesta desde un punto de vista paraconsistente "pr;ximo al de quien esto escribe, s;lo que sin abogar, como yo lo hago, por la multiplicidad de grados intermedios" ofr)cela Graham Priest en su art1culo Was Marx a Dialetheist? , en la misma revista, vol. 54/2 (199091), pgs 46875. De hecho no es )sta ninguna idea original de quien esto escribe, aunque no le toca a )l juzgar cun provechosa sea para sacar a la f1sica del atolladero en que parece estar. (Tambi)n cabe pensar que dos part1culas diferentes puedan estar parcialmente en un mismo lugar, siendo as1, durante cierto lapso, indiscernibles desde el punto de vista tanto de la ubicaci;n espacial  Z cuanto de las caracter1sticas comunes de la clase de part1culas de que se trate.M} R ##Una soluci;n como la que acabo de sugerir no es la Cnica. Otro modo es el de las l;gicas schr?dingerianas,  R para las cuales no es irrestrictamente vlido el principio de identidad, e.d. no se tiene en general  zx(x=x) , sino que hay un dominio de entidades para las cuales la noci;n de identidad carecer1a de sentido. Par)ceme un inconveniente de tal propuesta el que acarree ese recurso al sinsentido, o sea su inserci;n en la l1nea de lo que Quine ha llamado la `nononsense philosophy', en boga en el C1rculo de Viena y luego entre los fil;sofos lingG1sticos de cu9o oxoniano. Sobre las l;gicas schr?dingerianas, v)ase de D)cio Krause: A  R  dialectiza'Mo da Teoria Tradicional da Identidade ,  Bol. Soc. Paran. Mat.  (2 s)rie), vol 11, N 2 (1990), pgs 15773 y Schr?dinger Logics , Relatorio Interno de la Universidad Federal del Paran, 1991.M) Tales hip;te Z sis son compatibles "dentro del marco de un sistema multivalente de la familia A " con la  Z tesis comCnmente aceptada de que, en la medida en que un cuerpo c est en un lugar, l, en  Z esa medida [al menos]: 1) c no est en otro lugar l'; y 2) no hay otro cuerpo c' que est) en  Z~ l. En el marco de una l;gica de esa 1ndole ese principio puede ser verdadero sin necesidad de ser enteramente verdadero, y ciertas negaciones del mismo pueden tambi)n ser verdaderas  Zb en algCn grado. b  R? ##Sea como fuere, no existe ningCn procedimiento viable para eliminar las ciencias no f1sicas ni siquiera para reducirlas a la f1sica; quienes somos, en algCn sentido lato, fisicalistas no afirmamos nada ms fuerte que esto: que las propiedades y relaciones no f1sicas son supervenientes sobre las f1sicas, e.d. que no podr1a ser el mundo igual en todo lo f1sico pero diverso en lo no f1sico. Esa tesis no permite ninguna reducci;n fuerte, eliminativa, de las ciencias no f1sicas, ni siquiera en principio, ni siquiera como ideal regulativo. Por otro lado, si se da esa superveniencia y los objetos que no son estudiados por la f1sica poseen determinaciones difusas, hay una raz;n ms para sospechar que tambi)n poseen determinaciones as1 los que s1 son investigados  R por la f1sica. Ya se sabe: one man's modus ponens is another man's modus tollens.  2) Como un caso particular de la gradualidad de la posici;n o ubicaci;n tendr1amos el del movimiento. La paradoja zenoniana de la flecha constituye un aut)ntico rompecabezas para las l;gicas que no reconocen infinitos grados de verdad. No es que no puedan hacer frente a los razonamientos de Zen;n, pero s;lo pueden hacerlo al precio de salidas implausibles, que vienen a renunciar a la existencia real de movimiento, reemplazndolo por una serie de estados de reposo. Lo que hace que el movimiento sea tal es que durante el mismo el m;vil, de una cierta manera, est y no est aqu1 y est y no est all1, e.d. est y no est en cada uno de los trechos de su recorrido que tengan una longitud no menor que )l; eso de `de una cierta manera' est aqu1 utilizado en plan de alusi;n: alCdese a que no cualquier distribuci;n o combinaci;n de situaciones de estarynoestar en varios lugares es un caso de movimiento, sino s;lo una que cumpla ciertos requisitos de continuidad y serialidad, tanto espaciales como3~o.,,ZZ  Z temporales, que he estudiado en otro lugar. R ##V)ase mi art1culo Partial Truth, Fringes and Motion: Three Applications of a Contradictorial Logic .  Studies  RT in Soviet Thought , vol 37 (Dordrecht: Kluwer, 1990), pp. 83122. Las l;gicas paraconsistentes no multivalentes "e.d. las que no tienen una semntica multivalente clara o ilustrativa del esp1ritu o de la idea subyacente del clculo l;gico en cuesti;n" dif1cilmente pueden solucionar la paradoja de la flecha; no es soluci;n buena el decir que durante todo el transcurso del recorrido el m;vil est en la misma situaci;n con respecto a cada parte de su trayectoria. Las l;gicas multivalentes no paraconsistentes tampoco solventan bien la cuesti;n, puesto que quienes acudan a l;gicas as1 para abordar este problema se obligarn a ni poder decir que el m;vil est aqu1 ni poder  Z decir que est all1, ni que est aqu1 o all1, ni que ni est aqu1 ni all1. El maximalismo al)tico "la tesis de que s;lo es verdadero lo totalmente verdadero" lleva a esas aberraciones. En aras de evitar tales inefabilidades, hasta parecer1a ms razonable quedarse con las soluciones, valgan lo que valieran, de la l;gica clsica. 3) Como un caso particular de utilizaci;n de nociones difusas en el quehacer cient1fico podemos se9alar la conveniencia del uso en lingG1stica de verdades parciales. Tomemos, a t1tulo de hip;tesis, un modelo funcionalista, que proceda a anlisis segmentacional y a la asignaci;n de funciones a los segmentos (aunque ese modelo no es hoy predominante, otros enfoques, como el de las gramticas categoriales, tienen problemas similares). Muchas veces, por no decir casi todas, hay buenas razones para proponer un anlisis y tambi)n las hay buenas para, en vez de )se, proponer otro que est en contradicci;n con )l. As1, supuesta la dicotom1a entre primera y segunda articulaci;n, hay segmentos tales que hay razones para verlos como de primera pero tambi)n razones para verlos como de segunda articulaci;n: p.ej. los sintemas, como los afijos. Hay casos much1simo ms complejos y problemticos, que suscitan fuertes desavenencias y controversias entre los miembros de una misma escuela, y ms entre escuelas diversas. En no pocos de tales casos cabe conjeturar que lo que est pasando es que hay elementos que ni del todo poseen la determinaci;n de que se trate ni tampoco carecen enteramente de ella, sino que estn entre los dos extremos, unas veces ms pr;ximos al uno,  Z otras al otro, alguna que otra vez (rara) equidistantes.'6 R ##V)ase al respecto mi art1culo La atribuci;n como funci;n sintctica y algunos problemas de m)todo en  R lingG1stica , Revue Roumaine de Linguistique 34/6 (Bucharest, novdec. 1989), pp. 53154.' Los varios niveles de anlisis pueden ser verdaderos, pero ninguno del todo. A esas dificultades los lingGistas responden a veces relativizando la verdad con relaci;n a un nivel de anlisis, pero eso encierra las ulteriores y graves dificultades de cualquier relativismo (se queda todo en que conrespectoalniveldeanlisisA el afijo dado, `;n' p.ej., es una unidad de primera articulaci;n, y que no lo es en cambio conrespectoalniveldeanlisisB?) La aceptaci;n de la gradualidad, de la verdad parcial, del % ):, ayuda a salir de esos dilemas. Igualmente est el problema de las unidades fonol;gicas, entre las cuales muy a menudo encontramos clases difusas, no meramente los dos extremos del Totalmente S1  y el Totalmente No , sino grados mayores o menores  Z~ de distintividad y de alternatividad, transiciones de lo uno a lo otro.~  R"( ##V)ase mi peque9o art1culo al respecto Phonology , apud  Handbook of Metaphysics and Ontology , comp. por H. Burkhardt & Barry Smith. Munich: Philosophia Verlag, 1991, pp. 7036. Adems, s;lo enfoques continuistas y gradualistas pueden hacer posible un puente entre la lingG1stica diacr;nica y la sincr;nica. En vez de caer en la (deliberada?) ficci;n saussureana de la pura sincron1a, conviene ver a la lengua como evolucionando siempre; y esa evoluci;n es un movimiento,Q#Xo.,,ZZ  Z al cual se aplican, mutatis mutandis, las consideraciones de ms arriba sobre el movimiento local. Cuando el castellano est pasando a regularizar una forma verbal irregular poco rentable,  Z lo que sucede es que ambas formas [co]existen parcialmente en la misma lengua.H Re ##Similarmente hay casos intermedios entre que una cierta unidad sea un lexema y que sea una forma flexiva de un paradigma nominal o verbal. Pi)nsese en los ablativos adverbializados del lat1n: hay franjas de transici;n entre que el hablante latino los vea como ablativos y que los vea como aut)nticos lexemas propios. Ms evidente es eso cuando se trata de formas flexivas atrofiadas, como el locativo. De hecho es dif1cil ver a una lengua de manera que no la conciba como un cCmulo difuso de actos de habla, un cCmulo posiblemente continuo en el que las isoglosas son l1neas relativamente arbitrarias o, en todo caso, menos reales que los trechos (zonas de transici;n, con un espesor, e.d. que no tengan longitud cero) a lo largo de los cuales cabe apreciar diferencias en lo  Z tocante a la posesi;n de la determinaci;n cuya presencia sea lo caracter1stico de la isoglosa.x RN ##Un tratamiento gradual1stico de los sistemas de escritura (aunque por desgracia no basado expl1citamente  R  en una l;gica difusa) lo propone Geoffrey Sampson en su libro  Writing Systems . V)ase mi rese9a del mismo  R en  ARBOR  N 538 (Madrid, 1990), pgs 1259. 4) El transcurso temporal es otro de los avisperos con los que no ve uno muy bien c;mo hab)rselas sin el recurso a nociones difusas y gradualistas. Desde el punto de vista l;gico y metaf1sico el recurso a una noci;n de grados de simultaneidad resulta punto menos  Z que imprescindible, segCn he tratado de mostrarlo en otros lugares.Bx < R ##V)ase mi trabajo Algunos desarrollos recientes en la articulaci;n de l;gicas temporales , apud  Lenguajes  R naturales y lenguajes formales IV.1 , comp. por Carlos Mart1n Vide. Barcelona: Universitat de Barcelona, 1989, pp. 41339.B Hasta ahora el principal medio para obviar ese recurso ha sido la ficci;n de que los hechos o acontecimientos suceden en instantes, o sea en lapsos de duraci;n cero. Eso tiene que ver con las soluciones clasicistas a la paradoja de Zen;n. Si hay grados de simultaneidad, un hecho puede ser tal que sea s;lo hasta cierto punto verdad que sucede en tal lapso. Si hay grados de simultaneidad, los habr de nosimultaneidad, y por ende de anterioridad y de posterioridad. En vez de tener que decir que todo lo anterior es igualmente anterior, unas cosas pueden ser ms anteriores, otras menos. Un enfoque que recoja esas sugerencias respetar ms la vivencia de lo que Bergson quiso  Z[ tal vez decir al hablar de la dur)e, s;lo que no parece que diera con ninguna soluci;n clara,  ZN l;gicamente articulable. N  R ##Cundo sucede la Revoluci;n francesa? No en 1789, en que se juega s;lo su primer acto. No en 1790. No en 1791. 8 No en 1814, que es cuando cae el r)gimen todav1a en alguna medida semicuasirevolucionario de Bonaparte y se restaura el trono borb;nico. Entonces? S;lo es verdad que sucede en el lapso 17891814? Aparte de que hay razones para decir que sucede en el lapso 17891799 "hasta el 18 de Brumario del a9o VII [=09111799]", y tambi)n para decir que sucede "revoluci;n, lo que es revoluci;n" en 179294, etc (respuestas todas parcialmente plausibles, y quiz todas parcialmente verdaderas), el problema mayor es lo parad;jico que resulta que un hecho hist;rico as1 no exista en ningCn a9o (ni mes, ni d1a, ni lustro, ni 8),  R& en ningCn lapso de tiempo que sea un ahora. Que, si el per1odo en cuesti;n es un ahora, ser entonces inevitable  R]' la pregunta de cun simultneo sea o deje de ser a los otros ahoras que se den consecutivamente cuando )l se est) dando. En 1792, p.ej., est existiendo ese per1odo? No vale responder que una parte de )l s1 y otra no, pues la pregunta no atiende a las partes del lapso sino al lapso mismo. 5) Igual que la l;gica temporal puede esperar una suerte mejor gracias a los grados de simultaneidad, la l;gica modal puede ambicionar tratamientos menos artificiales con uno.,,ZZ reconocimiento de grados de posibilidad. La noci;n arbitrariamente extremista de posibilidad est cargada de inconvenientes y consecuencias duras de tragar. Cualquiera que sea la noci;n de posibilidad de que se trate en cada caso "metaf1sica, f1sica, prctica, epist)mica, cada una con sus propios rasgos y veros1milmente irreducible a las otras", lo natural es pensar que hay grados de esa posibilidad; y, por lo tanto, de la necesidad correspondiente (por la gradualidad del `no' y la definici;n de lo necesario como lo que no es posible que no exista o suceda). Los sorites modales, p.ej., puede que sean huesos duros de roer hasta para tratamientos difusos  Z o gradual1sticos, pero lo que es seguro es que son ms duros de roer todav1a para los trata Z mientos bivalentes y para los maximalistas al)ticos.a R ## Un tratamiento gradual1stico de la posibilidad lo he propuesto, p.ej., en mis libros La coincidencia de los  R opuestos en Dios . Quito: Educ (Ediciones de la Universidad Cat;lica), 1981, y  El ente y su ser: un estudio  R l;gicometaf1sico . Le;n: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Le;n, 1985. Sin embargo, en el futuro  R pienso estudiar el problema en discusi;n con los enfoques de David Lewis "a cuyo realismo modal est bastante  RT pr;ximo mi propio tratamiento" y de Graeme Forbes, quien dedica el cap.7 (pgs 160ss.) de su libro  The  R' Metaphysics of Modality (Oxford: Clarendon, 1985) al tema Fuzzy Essences and Degrees of Possibility .a Aceptando la tesis de Kripke de que la g)nesis de un ente es necesaria (no puede existir ese ente sin esa g)nesis), podemos mantener que Luis XIV no puede existir sin ser engendrado por Luis XIII, pero Luis XIII hubiera podido  Z[ ser un homo neanderthalensis, o un hom1nido, o un primate no hom1nido, o 8, o un reptil mamaliano, o 8, o un artr;podo, o as1 sucesivamente. Cualquier cosa, o al menos cualquier ser viviente sexualmente reproducible? Qu) tan necesario es que la reproducci;n sea sexuada? Y no hay grados en eso tambi)n? Comoquiera que sea, el sorites modal nos lleva lejos. Cada paso parece justificado. Lo es? S1 y no. No totalmente. En cada paso pi)rdese un poco de verdad, disminuye el grado de verdad de la conclusi;n con respecto a las premisas. Poquito a poco se llega muy lejos. La soluci;n difusa a ese sorites modal es aceptar la verdad de Pero Grullo: un grano no hace granero, pero8 Puede que sea posible mas s;lo en, qu) s) yo!, digamos un 0'1 %! que Luis XIV pudo haber sido un platelminto; y s;lo un 0'00001 % que pudo haber sido una bacteria; y 8 Pragmticamente, en cualquier contexto normal, son posibilidades descartables, porque los contextos suelen proporcionar pautas a cuyo tenor las prolaciones pertinentes hayan de poseer "entre otras cualidades y segCn qu) hechos  Z representen" determinado umbral veritativo y no otro ms bajo. R ##Tambi)n hay grados de pertinencia comunicacional en un contexto. Tampoco en pragmtica vale el Todo o nada .  Z 6) Lo ya dicho a prop;sito de los sorites modales cabe extrapolarlo, seruatis seruan Z dis, a los sorites en general. Un ventaja en este particular de las l;gicas de la familia A  estriba en que, gracias al umbral m1nimo de verdad, puede admitirse la conclusi;n de que, si en cada paso de un sorites se conserva (en parte) la verdad de las premisas, no s;lo ser verdad de cada conclusi;n que la misma es (parcialmente) verdadera, sino tambi)n ser verdad algo ms fuerte, a saber que son verdaderas todas las conclusiones as1 y, por lo tanto, que todos los entes del dominio considerado poseen la determinaci;n de que se trate, mientras no haya una raz;n fundada para postular un corte; s;lo que la generalizaci;n (el enunciado universalmente cuantificado que obtenemos as1, que es la conclusi;n final del sorites) puede que sea s;lo infinitesimalmente verdadera. As1 p.ej. supongamos que es verdad de un objeto a9il que es azul, y lo es de uno purpCreo, y lo es de uno violeta, y lo es de uno malva un poco rosado o rojizo, y 8, y lo es entonces de uno rojo, pues es verdad que del rojo al un s1 es no tirando al violeta hay poca distancia (y una transici;n continua), etc. S1, pero la generalizaci;n puede`" o.,,ZZ que sea s;lo infinitesimalmente verdadera, verdadera en el grado 1nfimo no ms. S1, quiz todo objeto coloreado es azul, en alguna medida; pero a cualquier efecto prctico, eso no obsta a que, en el contexto de que se trate en cada caso, exijamos, con derecho, un ms elevado umbral de verdad para los hechos relevantes en ese contexto, a falta de lo cual rehusemos credenciales de aseverabilidad [pragmtica]. Puede que, aun con todos esos recursos, queden problemas sin resolver en torno a versiones perversas de los sorites que se revelen reacias  Z y rebeldes a un tratamiento as1.Q  R' ##En mi libro  Fundamentos de ontolog1a dial)ctica , Madrid: Siglo XXI, 1987, defend1 lo que llam) `el principio de gradualidad', a saber: que todas las diferencias son de grado, que cada ente [realmente real, o sea existente en todos los aspectos] posee, en uno u otro grado, al menos infinitesimal, todas las propiedades [realmente reales]. Sin renunciar expresamente a tal principio, conc)dole hoy menos importancia o fecundidad explicativa, porque no puede aplicarse (ni pretendi; nunca aplicarse) ms que a los entes genuinos, y no a los entoides, que pueden carecer enteramente de existencia en algunos aspectos. Ulteriormente he utilizado la palabra `determinaci;n', de sabor hegeliano, para designar a cualidades tomadas en una acepci;n amplia, o sea tales  R que pueden ser entoides. La teor1a de cCmulos que figura en la Secci;n III de mis recientes  Rudimentos de  R l;gica matemtica  es un clculo de determinaciones "y as1 lo he llamado en otros trabajos. Para los cCmulos o las determinaciones no vale el principio de gradualidad. Eso debilita un poco la soluci;n a los sorites,  R^ obligndola a hacerse algo ms ad hoc. Mas tambi)n en esto hay que huir del catastr;fico eslogan Todo o nada . Aun sin ser aceptable en su plena generalidad para los cCmulos, el principio puede valer, y probablemente vale, para una amplia gama de cCmulos, que son los involucrados normalmente en los sorites. Puede que, as1 y todo, queden casos intratables, apor1as resultantes de que para ciertos cCmulos, por sus especiales caracter1sticas, no podamos tener [las instancias correspondientes d]el principio de gradualidad y, sin embargo, den lugar a sorites. Seguramente sern casos raros y teratol;gicos. Con relaci;n a ellos cabe decir, igual que con relaci;n a las paradojas l;gicas y semnticas, que no es poca cosa desplazar la frontera de lo apor)tico, brindando una soluci;n para las paradojas normales "siendo anormales aquellas que: (1) s;lo brotan en una teor1a equipada de recursos que le permiten solventar las paradojas previamente encontradas; y (2) han menester, para formularse, de los recursos expresivos de esa teor1a. V)ase mi trabajo, Aporetic and Non R Aporetic Paradoxes from the ViewPoint of an Axiomatized Contradictorial Fuzzy SetTheory ,  MultipleValued  Rg Logic  12 (1982), pgs 1717.Q Para los maximalistas, eso significa el fracaso del enfoque gradualista. Es dif1cil argumentar aqu1 sin incurrir en petici;n de principio; por un bando y por el opuesto. Si hemos sentado la exigencia de soluci;n radical, completa, plenamente satisfactoria y en toda la l1nea, entonces, si el gradualismo es [totalmente] satisfactorio en sus soluciones, habr algo al menos en lo que no sea gradualista, o no tenga por qu) serlo; aunque ms probablemente lo que habr que decir es que no ha solucionado nada. Si, por otra parte, profesamos la idea de que las determinaciones normalmente se dan por grados, por qu) no conformarnos [hasta cierto punto "est de ms precisarlo] con soluciones parcialmente satisfactorias (viendo que hasta un desplazamiento apreciable del problema es ya una soluci;n, [s;lo] en esa medida buena)? 7) Lo que se aplica a las cosas apl1case tambi)n a las palabras. Uno de los graves problemas de la semntica filos;fica es el de cun verdad sea que tal palabra denota (significa, hacelasvecesde, etc) a este ente y no a aquel otro, a esta cualidad o determinaci;n y no a aquella otra. Est aqu1 todo el problema de la indeterminaci;n de la traducci;n. C;mo sabemos que cuando alguien dice `sumar' quiere decir lo mismo que nosotros, y no una opera Z; ci;n coincidente en nCmeros hasta 9999, pero que luego va divergiendo? Lleva raz;n Hartry  Z, Field en postular lo que Putnam ha llamado un hecho metaf1sico bruto de que `sumar' signifique sumar? Se puede conjeturar que, sin reducirse a nexos causales u otros de 1ndole naturalista, la relaci;n semntica de que se trate s1 es superveniente sobre los hechos causales y los dems de esa 1ndole. Mas, como en esos hechos encontramos, no rupturas, sino continuidades,o.,,ZZ en las relaciones semnticas tambi)n hallaremos transiciones. Aunque las ocurrencias normales de `sumar' mientan ms a la operaci;n de sumar que a sus parientas menos recomendables, puede que est)n mentando a cada una de ellas en un cierto grado. Qu) pasa entonces con la cualidad semntica de verdad? Que tambi)n es de grado. Doblemente de grado. De grado, porque la verdad ;ntica lo es. Y de grado, adems, porque las relaciones semnticas a9aden  Z ms variaci;n de grados. (Los grados de verdadsemntica de una prolaci;n de  p  pueden formar un campo de variaci;n much1simo ms amplio que el de los grados de verdad de los hechos de que p "o, si se quiere, de las proposiciones de que p, o los estados de cosas, o como prefiera llamarse. Porque, adems de que unos de esos hechos podrn ser ms verdaderos  Zy [p.ej. si  p  es `Hace fr1o'], hay una variaci;n sobrea9adida por la variaci;n de la denotaci;n: unas ocurrencias o prolaciones de `fr1o' denotan ms que otras a temperaturas, digamos!, de por debajo de los 0 grados cent1grados; pi)nsese en la frase dicha por un ecuatoriano y por un esquimal.) El hecho metaf1sico bruto no tiene por qu) postularse as1 ms que si se busca la unicidad. A la pregunta Cul es el ente denotado por tal locuci;n?  hay, no una sola, sino muchas respuestas; de lo mentado en cada una de tales respuestas cabe decir con verdad [parcial] que es lo denotado por la pseudodescripci;n definida, en la cual hay un uso no individuante del art1culo determinado, un uso que es normal y corriente en mCltiples campos y contextos (hasta lo del contexto es as1: cuando decimos `en el contexto', sabemos que hay infinitos contextos pertinentes de una misma prolaci;n, pero pensamos que para cada uno de ellos hay un grado en el cual es correcto que lo llamemos `el contexto': estn ordenados, por un orden parcial, segCn su grado respectivo de ser [un] contexto pertinente; y  Z lo mismo expresiones como `el sitio', `el momento', `la 1ndole', etc). RF ##Un esbozo de tratamiento gradualista de las relaciones semnticas como la de denotaci;n figura en el cap.  R 2 de mi libro, todav1a in)dito,  Hallazgos filos;ficos . 8) Otro tanto cabe decir de los problemas de la teor1a del conocimiento. La verdad, la creencia y la justificaci;n son asunto de grado, cada una por separado y, naturalmente, tambi)n en sus combinaciones. Se pueden tener a la vez opiniones mutuamente contradictorias, no s;lo porque pueden ser verdaderas, en algCn grado, sino aun en los casos en que eso no sea posible, e.d. ms all de la compatibilidad parcial entre los contradictorios. Eso de nuevo no obsta a que pueda ser verdadero el principio (que, no obstante, me parece dudoso) de que nadie piensa que p ms que en la medida en que no piense que no p. Seguramente ese principio es infundado e idealizador, pero, aunque fuera cierto, podr1an darse en el mismo creyente dos opiniones contrarias aun siendo la verdad de la una del todo incompatible con la de la otra. Ms veros1milmente, sin embargo, los seres finitos que somos podemos tener una opini;n en medida mucho mayor que aquella en que carezcamos de opiniones opuestas; lo que s1 es probable es que uno no pueda estar totalmente convencido de que p ms que si est exento de la opini;n de que noesverdadenabsolutoquep. Mas qui)n tiene, qui)n aspira incluso a tener, convencimientos totales? Podemos dejarles a los fanticos, en la medida en que los haya, tales convicciones, y andar por casa "por la casa de la ciencia real, de la vida real, de la realidad real, de la filosof1a real, de la pol1tica real" con grados infinitamente menores de convencimiento "quiz de hecho grados que pocas veces suben ms del 50%; para qu) o por qu) iban a subir ms, cuando las evidencias disponibles son tan frgiles y precarias, y con tanta vuelta de hoja? Nunca estamos totalmente justificados en ninguna de nuestras opiniones, pero a veces estamos mucho ms injustificados que otras. La aceptaci;n de los grados puede servir a articular de maneras ms sensatas "menos pomposas, menos maxima(5o.,,ZZԮlistas, ms distantes de los extremismos intransigentes" las nociones de la epistemolog1a,  Z de la hermen)utica y de la l;gica doxstica y epist)mica.0 Rr ##Dos esbozados tratamientos gradualistas de un amplio manojo de cuestiones epistemol;gicas figuran en mis trabajos: Naturalized Epistemology and Degrees of Knowledge , ponencia presentada en Tepoztln en la I Conferencia de SOFIA, en agosto de 1988, y Contradictions and Paradigms: A Paraconsistent Approach ,  R ap.  Cultural Relativism and Philosophy: North and Latin American Perspectives , comp. por Marcelo Dascal, Leiden & New York: E.J. Brill, 1991, pp. 2956.0 Ni, por un lado, el Todo vale! , o el escepticismo, ni, por otro, los fundacionalismos (siempre tan proclives al fundamentalismo). Algo ms moderado y llano, algo intermedio. 9) Apl1case tambi)n eso mismo a los problemas de la l;gica de;ntica, la l;gica jur1dica, la )tica y la filosof1a social y pol1tica. Los mCltiples dilemas o conflictos entre bienes  Z o entre deberes van ms all, desde luego, de los grados de compatibilidad parcial entre hechos mutuamente opuestos o determinaciones contradictorias entre s1, porque puede que pesen sobre un mismo agente dos obligaciones tales que en la medida en que cumpla la una no cumplir la otra, a pesar de lo cual sea bastante cierto que el agente posee la una y tambi)n  Z bastante cierto que posee la otra.  Rh ##`Cierto', en espa9ol, en estos contextos significa `verdadero', y no `seguro'. Puede que sea verdadero un principio debilitado de coherencia de;ntica a cuyo tenor, si es obligatorio hacer que p, no es [del todo] obligatorio hacer que no p. De )se ms otros principios plausibles (como el de que lo obligatorio no puede ser totalmente il1cito, y el de que, si una acci;n es obligatoria, no es [totalmente] l1cito obstaculizarla) puede seguirse que, dndose dilemas morales, se tengan que dar contradicciones de;nticas. Que seguramente se dan. Y, cuando y donde se est)n dando, ser que cada una de las obligaciones presentes sea real s;lo hasta cierto punto. El grado de la obligatoriedad es una cosa, el de su cumplimiento otra. Puede que sea obligatorio en una cierta medida que p, obligatorio en una cierta medida [hacer que suceda] que q, cuando el hacer que q impida el suceder de que p; en tal caso no ser ni del todo l1cito ni del todo il1cito hacer que q. No ha experimentado mil veces el lector casos as1? No est la vida colmada de tales dilemas? Eso no obsta a jerarquizaciones parcialmente fundadas de los deberes en conflicto, pero s1 obsta a las pretensiones de que las mismas sean totalmente satisfactorias desde todos los puntos de  Z vista. i Rc ##Esbozos de tratamiento de los dilemas de;nticos con los recursos brindables por una l;gica transitiva pueden hallarse en mis trabajos anteriores: Un syst/me paraconsistant infinivalent de logique d)ontique  (Abstract),  R!  Journal of Symbolic Logic  vol 52 (1987), pgs 1523; Un enfoque noclsico de varias antinomias de;nticas ,  R!  Theoria 789 (San Sebastin: 1988), pp. 6794; El problema de los dilemas morales en la filosof1a anal1tica ,  R"  Isegor1a  N 3 (Madrid: CSIC, abril de 1991), pp. 4379. Cada uno de esos tres trabajos propone un enfoque diferente. La articulaci;n formal del punto de vista subyacente al Cltimo art1culo constituir la materia de un trabajo futuro en el que propondr) un nuevo sistema contradictorial de l;gica de;ntica y jur1dica. A diferencia de los anteriores, el Cltimo enfoque ha abandonado tanto el principio de agregaci;n ( Si es obligatorio que p y es obligatorio que q, entonces es tambi)n obligatorio que p y q ) cuanto el de cierre l;gico ( Si necesariamente la verdad de que p implica[r1a] la de que q, entonces la obligatoriedad de que p implica la de q ). Que los dilemas morales entra9an contradicciones puede demostrarse aun sobre la base de principios ms d)biles y menos cargados de dificultades. 10) Mencionar) ya s;lo de pasada otras aplicaciones estrechamente emparentadas con una u otra de las nueve anteriores. P.ej. hay motivos para pensar que las partes no preexisten a su eventual desgajamiento de los todos en los que estaban antes de separarse; mas esof0o.,,ZZ  Z no puede ser del todo verdad. y R ##V)ase a este respecto el art1culo de Frances HowardSnyder De Re Modality Entails De Re Vagueness ,  RU  Pacific Philosophical Quarterly  72/2 (june 1991), pgs 10112. No puedo aqu1 ni citar toda la bibliograf1a pertinente ni, menos, entrar en detalles de la discusi;n. Qu) sucede? Posiblemente que las partes, antes de desgajarse, tienen un grado menor de realidad. Otro problema emparentado es el de que lo que sea caracter1stica o t1picamente verdad de las partes lo habr de ser del todo; pero cuando de unas partes es ms verdadera tal determinaci;n, de otras una contraria, en qu) medidas sern sendas determinaciones verdaderas de los respectivos todos? Ello depender de muchos factores, pero lo que parece inveros1mil es que qu) sea verdad del todo no est) en funci;n (y en una  Z funci;n continua ) de qu) sea verdad de las partes. Otra aplicaci;n af1n es el tratamiento de las nociones de borde, de superficie, de l1mite y similares, as1 como de las figuras geom)tricas y dems entidades ideales. Acaso en todos esos temas haya siempre que entender los enuncia Zy dos condicionales como implicacionales, como comportando un  pq  (o sea,  en la medida  Zp [al menos] en que sea verdad que p, es verdad que q ): en la medida en que es esf)rico, un cuerpo es as1 o as; en la medida en que est exento de roce, un desplazamiento tiene estas o aquellas propiedades; en la medida en que es superficial, una parte del cuerpo es delgada  ZC "y, adems, rugosa, lisa o lo que sea.!JC  R) ##Unas consideraciones al respecto un poco menos sucintas se hallarn en mi libro, de pr;xima publicaci;n,  R  Introducci;n a las l;gicas no clsicas , que est siendo editado por la UNAM, M)xico. Sobre el problema l;gico de los bordes es interesante leer este art1culo de R. Chisholm: Boundaries as Dependent Particulars ,  R  Grazer Philosophische Studien , vol. 20 (1983), pgs 8795. Cabe por Cltimo mencionar de pasada otros problemas todav1a ms dif1ciles, como el tratamiento de las paradojas l;gicas y semnticas o el de la  Z% identidad.("%? RA ##V)anse mi art1culo Identity, Fuzziness and Noncontradiction ,  NoEs 18/2 (mayo 1984), pp. 22759, y mi  R libro  Rudimentos de l;gica matemtica , Madrid: Servicio de Publications del CSIC, 1991.( Las dificultades l;gicas de esas paradojas as1 como las de la identidad son grandes; si un tratamiento multivalente, aunque no pueda solventarlas todas enteramente, desplaza y aminora al menos una buena parte de ellas, tanto mejor. Adems, cuanto se ha hecho y dicho a favor de aplicaciones t)cnicas de teor1as de  Z_ conjuntos difusos vale para las l;gicas de la familia A , ya que, a diferencia de las de ukasiewicz y otras que aCn se cobijaban bajo el maximalismo al)tico, los sistemas de la familia  ZB  A  permiten tener las ventajas de gradualidad o difusidad sin sacrificar ni siquiera una versi;n  Z4 fuerte del principio de tercio excluso (la versi;n  pVp , donde `' es la negaci;n fuerte).5#d4  R! ## La cibern)tica es el dominio en el que ms se ha avanzado en la aplicaci;n de l;gicas difusas. Puede que, pese a los grandes pasos adelante que se han dado, haya habido dos frenos: 1) las l;gicas usadas, generalmente de la familia de las de ukasiewicz, estn sujetas a dificultades que hemos visto ms arriba; 2) dada la enorme cantidad de dinero invertida en aplicaciones de la l;gica clsica, los enfoques difusos han de competir en  R*% condiciones dif1ciles "han de demostrar, no que son mejores c%teris paribus, sino que su superioridad es tal que sobrepuja incluso la ventaja inicial de las aplicaciones clsicas, ventaja consistente en que ya se estaban usando y se hab1an invertido en ellas much1simos miles de millones. El que, pese a tal desventaja, se hayan obtenido sensacionales avances mediante enfoques difusos es indicio del inter)s no s;lo te;rico sino tambi)n prctico de tales enfoques.5